CHAPITRE V. — INVARIANTS INTÉGRAUX

62. Interprétation de la méthode précédente. : — Gonsidérons d’abord un système de trois équations

dæ dy

dz PR ET AU

où X, Y,Z ne dépendent pas def, et un invariant intégral du

I — f f 1, Mdrdydz.

Soit S, une portion de surface limitée par un contour fermé T';

* troisième ordre

les trajectoires issues des différents points de S, engendrent un tube de trajectoires, limité par une surface S;, lieu des trajectoires qui rencontrent le contour F. Soit m, (o; Yo, 0) Un point deS,; le point de l’espace qui est au point m, au temps { — 0, est venu en un point m au temps { —T, et le lieu de ce point m est une surface S qui limite avec S, et S, un domaine D, le temps T ayant la même valeur pour tous les points de S,. Pour calculer l’intégrale I étendue au domaine D, supposons les coordonnées d’un point de S, exprimées au moyen de deux paramètres (4, v), de façon que S, corresponde point par point à un domaine fermé R du plan (a, v). Le domaine D de l’espace correspond alors point par point à un domaine cylindrique de l’espace à trois dimensions (4, v, t) limité par les deux plans { — 0,4 —T, et l’on a

1 1 ) 10 Mdxdyds — 1h de ÉCPE) . 3 dudvdt Re > ÿ) D(y, £) D(z, LC) Ë = pe v) Z + D(u, v) XF D(x, + * | ÉPUUAE

= | dt Fx( [HE x + SET y DD 7 Z | dudo,

ce que l’on peut encore écrire

I = F ie {Xdyds + Ydsdx + Zdxdy },

\ 15 CU) PV 0 Sr AOL RTE É LRTTar 2 Le RE PE PR SR TE EN + va 1 4 ‘ Fa. » TE TRE s Aa \: " 5 10e L Eu LE qe A HMLATAE À ut | Fad La (Ta Es « * j F-# k Le s y VAN ARC u AURA } rs QU CELNCAITA Ve

l'intégrale de surface J | étant étendue à la section S; du St

domaine D que l’on obtient en donnant à { une valeur constante

comprise entre o et T. L'intégrale I est une.fonction de T dont la dérivée pour T — 0, par exemple, a pour expression

(%) a 1 M(Xdyds + Ydsdx + Zdædy).

Nous définirons un autre domaine A analogue à D de la façon suivante. À chaque point m, de S, faisons correspondre un nombre 6 variant d’une manière continue avec la position de my. Sur la trajectoire issue de ce point rm, prenons les points u,, et occupés par le mobile, qui part de m, au temps {= 0, aux époquest —0ett 8 +T. MS

Sur chaque trajectoire issue d’un point de $S,, nous prenons ainsi quatre points M0, M, Hg» COESpRRR RAS aux valeurs l = 0, NÉE TE M ET ) Lorsque le point », décrit S,, le Sotne m décrit S, et les points

Lo, L décrivent aussi deux sections X,, Z du tube de trajectoires. Soit A le domaine intérieur à ce tube compris entre X, et Z. Il est clair que ce domaine À se déduit de la surface X, de la même façon que D se déduit de S. La dérivée par pie à T de l'intégrale triple |

[, — <f f f* Mdxdyds

est ao égale aussi, pour T= 0,

( me) =f ke M(Xdyds + Ydsdæ + Land).

D'autre part, l'intégrale I, étendue au domaine À est égale à l'intégrale I étendue au domaine D. On passe en effet du domaine D au domaine À en ajoutant à D le domaine 5 compris entre S et », et retranchant ensuite le domaine Ô, compris entres, et X,. Or les deux valeurs de I étendues à ces deux domaines sont égales, puisque par hypothèse I est un invariant intégral.

Map,

un invariant intégral d'ordre p du système