CHAPITRE V. == INVARIANTS INTÉGRAUX

On a donc aussi ( a)= =(æ ire et la valeur de l'intégrale de

surface | Tire ù

ME ME Ja M(Xdydz à Ydzdx + Zdxdy),

hante à une section quelconque du tube de trajectoires, a une valeur constante. Cette intégrale est donc un invariant du second

: . ordre attaché aux trajectoires ; c’est précisément celui que l’on

obtient en appliquant l'opération (E) à l’invariant intégral du troisième ordre L.. LS D | Le raisonnement qui précède est dû à H. Poincaré (Acta Mathematica, t. XIIT, p. 66). Il est: aisé de l’étendre à un invariant d’ordre quelconque (t). Soit fe

(33) b= [ Da PSP LOT LT: RE

1 | DATES AL 3 me EE EE (54) = X1 ci 2 2 Ets X» “

où les X; ne dépendent pas de f{; je supposerai, pour fixer les

idées, que la sommation Unes par le signe Y est étendue à ‘tous les arrangements p à p des n premiers nombres. Soit E)4

. une multiplicité à p—1 dimensions de l’espace à n dimensions (di, æ, ..., æ,), non composée de trajectoires du système (34).

Quand on fait varier { de o à T, le point (x,, x,, ..., æ,) qui, pour { — 0, coïncide avec un point (a, a, …, a,), de

ÆEp-1 décrit un arc de trajectoire allant du point (a,, &,, ..., @,)

à un point (b,, b,, ..…. b,) et ces portions de trajectoires engendrent une lu TE à p dimensions E,, limitée par no par la multiplicité E'»-1 décrite par le poirit (Di 0e, 1240;) et: par une autre multiplicité E/»-1 engendrée par les segments de

| (1) Journal dé Mathématiques (7° série), tome I (1915), p. 242.

trajectoires issues des points de la multiplicité E5-2 qui limite

Ep-1. Nous allons calculer l'expression de l'intégrale I, étendue à

la multiplicité E,. Pour cela, supposons les coordonnées (a,, Ag. y) de Ép-1 exprimées au moyen de p— 1 variables indépen- dantes, de façon que E)1 corresponde point par point à un certain domaine R-4 à p— 1 dimensions de l’espace (4, u,, .., up). Les coordonnées d’un point de E, sont alors des fonctions de

DT; Uns Uossess Up Ct def, qui vérifient les relations Se = X4

L'intégrale cherchée peut s’écrire

| D 2æ, 2x, 4 ER ; ue | d = PRE EU res p—: Psdus "dus 10 P : X142 "9 Re TP DUp=- 4 MO AUS i # t

la sommation indiquée par le signe È étant étendue à tous les

arrangements d'indices p à p. On peut encore écrire L,,,

à: pr RS 2æ, D 39) [p— | dt Bar ru = see 2 du, .… dup- ( ) P k Ver > œ + + Apt du dUp—1 F # en posant

(36) Cases NTGRCLT TS 2x ve api?

cette expression. de I peut aussi s’écrire, sous la forme abrégée Aer L

(37) Lo SE af. 22 Or eÀ Pa té Cape

ne intégrale I, est donc une fonction de Le dont la dérivée pour T— 0 a pour valeur | |

(+) | tas (38) | 7) ie ÿC DE SE Te he nt

Considérons une és multiplicité &, définie en partant de E,,

d’une façon plus générale. À chaque point (a,, …, a,) de E,.., fai-

sons correspondre un nombre 0 variant d’une manière continue avec la position de ce point. Sur la trajectoire issue de ce point,

prenons les points («,,..., «,) et (B,,..., b,) occupés par le mobile qui part du point (a,, …, a,) au temps { — 0, aux époques { — 6, t—=T +0;il ya ainsi sur chaque trajectoire issue d'une point de E,1 quatre points de coordonnées (a;), (bi), (æ), (Bi) respective-

ment qui correspondent aux valeurs £ = 0, t = T, { — 8,

t— 0 + T. Lorsque le premier de ces points décrit E,,, le point (bi) décrit E',,, et les points (x;) et (Bi) décrivent deux autres mulüplicités &,,, &!,..

Soit &, la multiplicité engendrée par la portion de trajectoire comprise entre les deux points (ai) et (b;), e, et e', les domaines décrits par les segments de la même trajectoire compris entre les points (a;) et (a), (b5) et (B;). On obtient le domaine 6, en ajoutant au domaine E, le domaine e’, et retränchant le domaine e,.. Mais les points des deux domaines e, et e', correspondent deux à deux à des valeurs de { qui diffèrent d’une quantité constante T. Les valeurs de l’invariant intégral 1,, étendues à ces deux domaines, sont donc égales. Par suite il en est de même des valeurs de I, étendues aux domaines E, et 6, ; les valeurs des deux dérivées sont donc égales pour T —o.

Or il est évident que le domaine &, se déduit du domaine &, ,

comme E, se déduit de E,,. La valeur de l'intégrale.

1 — 1 Ds …. GA TT de pe Pop 4 ù

est donc égale, quel que soit 6, à l’intégrale (38). L'intégrale [,4 est précisément l’invariant intégral que l’on déduit de FE, par l’opération (E). La démonstration prouve bien que la valeur

de cette intégrale étendue à une multiplicité à p—1 dimensions,

obtenue en prenant un point à volonté sur toutes les trajectoires ‘issues des différents points de Eh-4, est égale à la valeur de la

même intégrale étendue à E,1. C’est donc un invariant intégral

attaché aux trajectoires.

Cette interprétation de l'opération (E) est évidemment indépendante du choix des coordonnées qui fixent la position d’un point dans l’espace à n dimensions. Cette opération est donc covariante

pour le système (34). En termes plus précis, soient I, EE, un

PER de LE Ac hide

invariant intégral de ce système, [5-1 — f w)4 l’invariant inté-

gral qu’on en déduit par l'opération (E) ; si on effectue une trans-

formation de coordonnées définie par les formules x; = vw; (y,,

Yo ce Un) C1, 2, , n), le système (34) est remplacé par un nouveau système |

ENS CARO dyn (34) | === di,

les deux formes w, et w,1 sont remplacées par deux formes »., et

p p— P P p wp 1, et les deux invariants intégraux I, et 11 S'écrivent, avec les nouvelles Large

l = Gp, 1-4 = Dp—i."

La forme SA se. déduit de la forme sn de la même façon que la forme w)41 se déduit de w), les variables xi étant rempla-

cées par lesvariables y; et les fonctions X; par ne Yirespectivement.

Supposons en particulier que le Pier (34) ait été ramené à

‘une forme canonique (n° 55). Avec les variables canoniques

LDÉRAUETEEECS Yn—1, Z, la forme %D S écrit o,=Q, + Q, ds,

Q, et Q,, étant des formes de degré p etp—1 respectivement, en

tion. (E) appliquée à Pinvariant I, — fe, conduit à l'invariant

PÈRE J O4, qui est bien un invariant attaché aux trajectoires.

L'opération D) appliquée au même invariant 1, conduit à un inva=

riant Ro Se fe + 0! is. Enfin les deux opérations (E)

et (D) appliquées successivement à l’invariant 1, conduisent, quel

que soit l’ordre dans lequel on les applique, à un seul invariant |

nouveau PS Je pie De l’invariant intégral 1», on peut donc