CHAPITRE V. — INVARIANTS INTÉGRAUX. 251 F
p+1? P , et trois seulement. Quelques-uns de ces invariants peuvent disparaître; si, par exemple, l’invariant I, est égal à une intégrale de dif-
CRE : ° ; : . | ê déduire, en général, trois nouveaux invariants |,4,
férentielle totale, on a Q'hy —Q';1—0, a et
sont nuls. Si
linvariant I, est attaché aux trajectoires, Q,41—0,1,4 et res À ‘4 disparaissent, Enfin, si l’on a Qh 1— 0, Q',— 0, les trois invariants
que l’on déduit de I, sont identiquement nuls. Les théorèmes L énoncés à la fin du paragraphe précédent sont évidents sur ces for-
mes réduites. On voit de même que tout invariant 15, peut se #-10 déduire, d’une infinité de manières, par l’opération (E), d’un inva- : : OR INR riant [,, et que tous ces invariants [, ne diffèrent de l’un d'eux que ( | | par un invariant d'ordre p attaché lur-même aux trajectoires. D.
RDA — Supposons que le Phi (34), où R—2p, admette. l’invariant intégral
ie = de l dxidæs + dxsdx, + …. + dXtop1d%sp ;
l’invariant que l’on en tr par l'opération (E) est un invariant 19 <
qui a pour expression
CE X1dX2 — Xodxi +... + Xanriddp — Xepdtop1.
La forme de Pfaff qui est sous le signe intégral doit être une différentielle exacte, ce qui exige que le te (34) soit un système canonique (cf..n° 58).
+ Remarque I.— D'un invariant relatif J, — fo qui n’est pas
une intégrale de différentielle totale, on déduit un invariant intégral absolu Ina = Les fo Si cet invariant 1} p41 0 nee pas attaché "10 aux trajectoires, on en déduira par l’opération (E) un invariant Le $
D'un invariant intégral relatif, on peut donc toujours déduire un invariant intégral attaché aux trajectoires.
+ A Dr pad FE. De
Lorsque l’invariant | w’ Let attaché aux tra ectoires, on peut q p J P
de que l’invariant lui-même J, est ne aux trajectoires. Considérons en effet une Auteur Ep limitée par une multiplicité fermée E,, et sur chaque trajectoire issue d’un point de E, 4, prenons un point à volonté. Le lieu de ces points est une multiplicité E',,, limitée par une multiplicité E',, dont chaque point est situé sur une trajectoire passant par un point de E,, et inverse-
ment. L'invariant fe étant par hypothèse un invariant
re 1, les deux intégrales étendues à E,}4 et à E'h11 sont égales ; il en est donc de même des deux valeurs de l'intégrale J, étendue aux deux multiplicités E, et E!,. Il s'ensuit que J, est un invariant intégral relatif pour tous les systèmes d'équations différentielles que l’on obtient en multipliant les fonctions X; pars un facteur arbitraire Mis de di
Remarque II. — Il est aisé de reconnaître si un invariant intégral
FN fu peut être ramené à la De fous avec un système de
variables HACRAUeE Soit
Lp—1 ee fr = fo
l’invariant qu’on déduit de I, par l'opération (E). Avec les variables canoniques, on voit immédiatement que l’on a wp— wp-1d2. Il faut donc que la forme wp soit le produit de la forme wp 1 par une différentielle exacte.
Cette condition nécessaire est aussi os En effet, si l’intégrale
f est un invariant intégral, on a
op = Qp + Qp—1dz, Op et Op1 ne renfermant que les variables y; et leurs différentielles. La forme w)1 qui figure dans l'invariant lh 1 est égale à Qp 1; pour que wp soit divisible par wp—1, il faut donc que 9» soit divisible aussi par Qp-41, et l’on a
@p — œp—1(dz Gi I), I étant une forme de. Pfaff en dy,, .…., dyn-1. Si la forme linéaire dz + Ti est une différentielle d{z + +), il suffira de remplacer z par z + 9%.
