CHAPITRE V. — INVARIANTS INTÉGRAUX
63. Relations entre les invariants et les intégrales. — La connaissance d’un invariant EE fo d’un système d’équations différentielles
dx; ja PE TLn 64 (39) TRES dE At
où les dénominateurs X; ne dépendent pas de #, permet en général de simplifier le problème de l’intégration. Soit n — r la classe ; si on ramène cette forme à une forme réduite où
p 2 ne figurent que n —r variables, 1, Ye, ..…, Yn—r et leurs différen-
de la forme w
tielles, nous avons vu (n° 60) que y1, Y2, .…, Yn-r Sont des intégrales distinctes du système (39). La détermination de ces n — r fonctions exige l'intégration d’un système de 7—r équations aux différentielles totales complètement intégrable, et nous avons vu
les simplifications qui pouvaient se produire dans l'intégration de
ce système. Dans le cas le plus défavorable, où r — 1, et où w, eSt une forme dérivée, on a vu que l’on peut toujours achever l’intégration du système S’ associé à la forme w, par une quadrature, si l’on connaît 2—2 intégrales distinctes. La connaissance de
l’invariant fe offre donc le même avantage que la connaissance
d’un multiplicateur. Ê Après ces généralités, nous allons examiner en détail quelques cas particuliers. Soit M un multiplicateur du système. L'invariant
1, — fe ... dXn est un invariant 54 mais il ne peut être un
invariant [°, car la forme sous le signe intégral est de classe n.
En lui appliquant l'opération (E), on obtiendra donc un invariant
qui est nécessairement de classe n — 1. Cet invariant n’est autre que l’invariant fes considéré au n°0 5'7.
Pour déterminerles n — 1 intégrales de l’équation MQ,1df— 0,
e dr yeè, Ÿ %.
mes suivantes
nous avons vu qu'il suffisait de connaître n — 2 LABCA RE distinctes, et la dernière s'obtient par une quadrature.
La ina td est la même si l’on connaît un invariant e,, car un invariant de cette espèce est de la forme MO,-4, où M est un multiplicateur. Supposons en second lieu que l’on connaisse
un invariant 1-1 — | wh-1 qui ne soit pas attaché aux trajectoi-
res. Nous avons vu (n° 57) que les équations|
dn1df = 0; X(f)= 0
forment dans ce cas un système complet ; on aura donc n—2 intégrales premières du gyne (39) par l'intégration de ce sys-
tème complet.
Au lieu d'opérer ainsi, on pouvait d’ abord déduire de 1,-1 un
invariant 19 9 — fo ün—9, et tamichor ensuite la féte Wn 2 à une
forme réduite. Mais il est à remarquer que les calculs sont au fond
identiques. Supposons en effet que l'on ait pris un système de
variables canoniqués ; avec ces variables, w,4 et w,2 ont les for-
RSR = re 1 + Il, 202, Wn—9 — = ns,
Il, 41 et 5 ne renfermant que les SEA à yi et ts de
tielles, tandis que l équation X(/)—0se réduit Re —o, Les dhèx Ê
systèmes 1) (40) PTE Mdfo te = 0 (40°) on2df— O, | X(f) 0,4
sont donc identiques, puisqu'ils s’écrivent avec les variables cano-
niques i ie Ah-sdf = ù L EP | | Supposons que l'on ait déterminé n — 2 intégrales distinctes tra PPT În=2 du système (ko) ). Si la forme wn 2est declasse n — 1
on peut l’écrire
