CHAPITRE V, —-— INVARIANTS INTÉGRAUX

et le coefficient F, qui s'obtient par un simple calcul d'identification, est une nouvelle intégrale du système (39). Si w: est de

classe 7 — 2, il est clair que l’on ne peut déduire la dernière inté-

grale du système (29) de la connaissance de cette forme. Le calcul est évidemment le même si l’on connaît directement un

invariant 19 D'une façon générale, supposons que l’on con-

n—2" naisse un invariant |, — = fo oi où la forme Op admét r diviseurs

linéaires distincts fe …, dfr, de sorte que l’on peut écrire comme un produit symbolique

vp = Qdf, .… dfr,

la forme Q n’admettant plus de diviseur linéaire qui soit une différentielle exacte. Les deux équations

w,df=0, X(f)=0

admettent encore les r intégrales distinctes fi, ..., fr», que l’on obtiendra par l'intégration d’un système complet, facile à former en partant de w,. Le procédé même permet de reconnaître si la forme w,, admet des diviseurs de la forme voulue, et d’en déterminer le nombre sans aucune intégration (n° 25).

Nous examinerons encore le: cas où l’on connaît un invariant

intégral absolu du premier ordre du système(39)

pe fu fade +. + Arndn.

Nous pouvons reprendre le raisonnement du n° 62 en supposant p=1; la multiplicité E,, se réduit alors à un point, et l’on en

conclut que l'opération (E), appliquée à la forme w,, conduit à un

-invariant intégral d'ordre géro, c'est-à-dire à une intégrale du

système (39) AN EL RAR en CNRS :

c’est au fond la méthode même de H. Poincaré pour établir ce.

théorème déjà cité plus haut (n° 58).