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Le résultat est illusoire si A,X, + ... + A,X, se réduit à ‘une constante K. Si cette constante est nulle, l’invariant considéré I: est un invariant |, et il suffira de ramener w, à une forme canonique, ou, plus simplement, d'intégrer le système S: correspondant (n° 6) pour avoir c intégrales distinctes du système (39), si la forme w, est de classe c. |

Si la constante K n’est pas nulle, considérons le système auxi-

liaire à n + 1 inconnues, &,, .…., Æn, Æn+1; dx dx dXn- M: LUTES RS Re CE PSE (39°) UE rer er ENT

IL est évident que l’intégrale

l' == fade, Fe … + ALT Se Kdæn1 ;

est un invariant intégral attaché aux trajectoires pour ce système, | mi la relation YA;X; — K—o. Il suffira donc de ramener

— Kdxn11 à une forme canonique pour avoir qe intégrales de ce ons auxiliaire (39).

Supposons d’abord w, de classe paire 2p ; on peut alors, par un changement de variables, la ramener à la forme canonique Zdyi +. + 2, dy, OÙ Yi, Yns Zu ….., &, Sont 2p fonctions distinctes des variables æ,, &,, ..., &n. On aurait donc pour la différence w, — KdXn+1 la forme canonique

| dy + ee + Epdyp — -Kdœn+is

et Tn41 serait une intégrale du S-témie (39!), ce qui n’a pas lieu. I1 faut donc que w, soit de classe PAIE 2p + 1 ; elle admet alors la forme canonique

Adys + 2 + Epdyp + dyp+1,

les variables y;, zx ne dépendant que de æ,, …., æn, et w, —- Kdxæ»+1 admet : aussi la forme canonique

Adya ++ Epdyp 1 d(yp+i — Kætn1).

Le système (39') admet donc les 2p + 1 intégrales

de Gn: MÉUS y Re CEA NAT Ta ne)

2 NE CHAPITRE V. — INVARIANTS INTÉGRAUX. 257 . °

3 - d ES et par suite le système (39) admet les 2p intégrales E yi=CGi, PU *# et une intégrale première, qui renferme le temps, * 20 L À Ya MG | È Remarquons qu'il n'est point nécessaire, pour avoir ces inté- 5% grales premières, de ramener w, à une forme canonique. Nous 34 avons vu en effet (n° 5) que, si l’on a intégré le système S, associé 35400 à cette forme, il suffit d’une quadrature RAR PRaReEt “a lac; 2e forme ET = - Ydy, + Yodys +. + Yodyon + dYspsas + “25 3 | es | ne | Y,, Y:, …, Y,, ne dépendant que de Ya Vos …, Y2,- Les nouvelles 55 É variables y,,7,,..",y,,.1 Sont des fonctions des variables -x,,.….,æn, Sa La qui s’obtiennent par l'intégration du système $, et une quadrature. é Les 2p équations yi Gi réprésentent alors des intégrales premiè- : ÈS res du système (39), et la dernière intégrale, Le renferme le. :: 2% temps est yo,44 — Ki Cou | = ne Pe Supposons enfin que ee connaisse un invariant relatif Re TAN — = [ “,, Ji ne soit pas une intégrale de différentielle exacte, Le 4 : ns e s = 1 à, x 1 > du système (9). T'itéerale fo l'est un invariant ER F3) du | . | même système. En lui appliquant l'opération (E), on en déduit un TER SJ ES ‘inväriant absolu du premier ordre (n° 61), 1Ÿ < = wi. La forme 3 “Te ‘de Pfaff 5, doit être une différentielle exacte df, et les dérivées ° : &°00 * 27 vérifient la relation EX;- = — 0, puisque cet invariant est un “#00 * É Li ? ee ; invariant If. La fonction f est donc une intégrale du système (39), 74 : et par conséquent de tout invariant relatif du premier ordre du é système (39) on déduit, par une quadrature, une intégrale de ce ÈS système. (*). La méthode s'applique aussi à un invariant absolu L,, 75 RC :

se mais l'intégrale ? à laquelle on est Re est identique à l'intégrale r° 0 | >. ” de Poincaré PAIX EYE RTE UE CE 2 LEA FÈ by Hieral de rsnbique (4 série), tome I V, 1908, P- 356. | + 3 < Probl. s IT SEE be © LE .

sf Le É

Ce résultat est illusoire si l’invariant k w,' est un invariant 19°.

Si la forme w,' est de classe 2p, 1l suffira d'intégrer le système S’ associé à cette forme pour avoir 2p intégrales du système (39). Or, le système S' est ici identique au système S, (n° 5) associé à la forme w, ({).

Remarque. — Soit = | wp un invariant intégral du système (39) de classe r<<n—1; si on sait intégrer le système S + S' relatif à la forme w,, on peut, par un changement de variables, exprimer cette forme au moyen de r variables seulement Y1, 2, ...» ÿr et de leurs différentielles. Le même changement de variables, appliqué au système (39), conduit à un système admettant les intégrales 74, Ye, ..; y, et qui est, par conséquent, de la forme

dy: . dyr dyr+1 : dyn 1} — —— ; — ni Ph (39”) ee pate pas Ÿ. dé.

s’exprime uniquement au moyen de ÿ1, ..., Yr; dya, ..., dyr, ne peut être d’aucune utilité pour l'intégration du système

Mais si linvariant he a été déduit par l’opération (E) d’un inva-.

riant 141 — forte après le changement de variables, la forme wp+1

ne s’exprimera pas uniquement au-moyen des variables ÿ1, ÿs, ...; ÿr, et de leurs différentielles, et on pourra en déduire un ou plusieurs, invariants intégraux pour le système (41). Je renverrai pour ce sujet aux Mémoires déjà cités (?). | ;

(!) Zbid., p. 353.

(2) Journal de Mathématiques (7° série), tome I, p. 292. Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, t. VII, 1915, p. 38-45. ;