CLASSE D'UN SYSTÈME DE PFAFF. CARACTÉRISTIQUES

Les systèmes les plus généraux d'équations de Pfaff ont d’abord été étudiés par Biermann (!), qui s'était proposé de rechercher

l’ordre maximum des multiplicités intégrales, en supposant qu'il

passe une de ces multiplicités par chaque point de l’espace. Il a

- trouvé ainsi, lorsque les coefficients sont quelconques, que ce

nombre maximum est égal au quotient, à une unité près par défaut, du nombre total n des variables par le nombre r des équations augmenté de l’unité. Différents géomètres ont repris depuis lors l'étude du cas général, sans arriver d’ailleurs à une démonstration entièrement rigoureuse du théorème précédent. Des résultats plus précis ont été obtenus ensuite par Engel, von Weber, et surtout par Cartan (?), qui a donné une méthode générale pour trouver dans tous les cas l'ordre maximum des multiplicités intégrales non singulières. Nous exposons dans les chapitres suivants les principaux résultats de Cartan.

64. Généralités. — Considérons un système de r équations linéaires par rapport aux différentielles dx,, dæ,, .…, dæn,

wo, = X,,d2, + XX, +... + XindTn=—=0,

(a): w,=X,,d2, + Xe d2s +... + XondXn—=0,

Op —= Xr,d2, ne Xr,d%; + US + Xrnl En —= O, dont les coefficients Xix sont des fonctions analytiques ; dans cer-

(7 Ueber n simultane Differentialgleichungen der Form IX dr, = 0 (Schlôm.

Zeitschrift, t. XXX (1885), p. 234-244). |

(2) Sur l'intégration des systèmes d'équations aux différentielles totales (Annales de l’École Normale, de série, t. X VIII, 1901, p. 241-311).

Voir aussi : F. EnGez. Berichte Ges. Leipzig (t. XLI et XLII, 1889-1890) ; Remarques ajoutées à une nouvelle édition de l’Ausdenungslehre ‘de H. Grassmann (Leipzig, 1896), p. 479.

E, vox Weser. Berichte Ges. Léinnia (t..L et DER 1898-1900) Sitsungsberichte

Akademie München (tu XXNV? et: XXX ; 1895-1900). Mathematische Annalen,

t. LV (1902).

tains cas, il suffit de supposer que ce sont des fonctions continues des variables æ,, æ+, ..., ©n, admettant des dérivées continues, tout au moins dans certains domaines de l'espace à à n dimensions. Nous appellerons encore élément linéaire intégral de ce système tout élément linéaire (dx,, dæ,, ..., dx), issu d’un point (x,, Lss -.., Cr), pour lequel les dx; désert les équations (1). Une multiplicité intégrale du système est une multiplicité ponctuelle de l’espace à n dimensions dont tous les éléments linéaires sont intégraux. Si cette multiplicité M,; est définie par p relations distinctes |

(2) CPE Te 0 fps . : Lie 0; (ph),

les équations du système (1) doivent être des conséquences des équations (2) et de celles qui s’en déduisent entre les dxi,

LR AE dfi=0, ..., dfp—0.

Lorsque les coordonnées (æ&,, &,, ..., Æn) d'un point de M;-) sont exprimées au moyen de p=n—p Daratnstées DUREE, u,, Ti = (Ua RE u,), PS Ln—= Qn(Us DS Us) les équations (1) devront être ee identiquement quand on y

Rp Ti par Gi et dx; par 7. du ie + SEE du,s et les fonc-

IONS Ps Pos + + + On Kétrert vérifier le système de re équations aux

dérivées partielles ainsi obtenues. ; On peut toujours supposer que les r équations du système (1)

sont linéairement distinctes ; c’est ce que nous ferons désormais, à

moins de mention formelle. On a donc r Ln; ; sir —n, les équations (1) donnent db —=0, lo, et n’admettent pas d'intégrales, sauf peut-être des plaie dont tous les points annulent le déterminant des coefficients Xi (1). SEC TRE

(‘) Les équations (1) sont supposées linéairement distinctes, c'est-à-dire que

tous les déterminants à r lignes du tableau %

| Xas, Xu2, ...s Xan Î (T) X215X22, ss... Xon

UE ee Ahdes A

ne sont pas identiquement nuls. Soit M, une multiplicité ponctuelle à p.