CHAPITRE VI. — CLASSE D'UN SYSTÈME DE PFAFF

système (x) est identique à un système de n — 1 équations différentielles ordinaires entre nr variables : il admet donc une famille de multiplicités intégrales à une dimension dépendant de n—1 constantes arbitraires, et peut être, par un changement de variables, ramené à la forme , | |

; (4) dfj=56, Fes dfn-1—=0,

© as for c.s fn—1 étant n — 1 fonctions indépendantes des variables x;.

Lorsque r est inférieur à 2 — 1, le système (1) admet toujours une

infinité de multiplicités intégrales à une dimension, car on peut adjoindre aux r équations du système 7 —r — 1 équations de même

forme à coefficients arbitraires, choisies de façon à former avec les premières un système de n — 1 équations distinctes, c’est-à-dire un système de r — 1 équations différentielles ordinaires. Ces intégrales dépendent de 7 — r— 1 fonctions arbitraires d’une variable. Si,

parexemple, lesystème (1) est résolu par rapport à dæ,,dæx,, .…, der,

on peut choisir pour Zr441, ..…., Xn-1des fonctions arbitraires de æ», et æ,, ..…, &r sont déterminés par un système d'équations différentielles ordinaires. | |

. Le système (1) peut être, d’une infinité de manières, remplacé par un autre système de même forme admettant les mêmes inté-

grales. Posons en effet Q— no, + + ro (= 1,2,...,r),

les coefficients À; étant des fonctions des variables æ,, ..., æÆn,

dont le déterminant est différent de zéro. Il est clair que le sys-

admet les mêmes intégrales que le premier système et inversement.

dimensions, telle que les coordonnées de l’un quelconque de ses points annulent tous les déterminants d’ordre p du tableau (T) (pr); les coordonnées d’un point quelconque de cette multiplicité peuvent s’exprimer au moyen de p paramètres w, ..…, u,» et en remplaçant æ; et dx; par leurs expressions dans les équations du système S, on est conduit à un nouveau système de Pfaff de ÿ — 1 équations à p variables.

On pourrait opérer de la même façon pour obtenir les intégrales du système S qui appartiennent à une multiplicité donnée quelconque à moins de n dimensions,

De pareils systèmes sont dits équivalents. En particulier, on peut toujours remplacer un système de Pfaff de r équations par un système de r équations résolues par rapport à r des différentielles dæx:.

On s’est d’abord proposé de trouver le nombre maximum de dimensions que peut avoir une multiplicité intégrale de S. Ce nombre est évidemment au plus égal à n — r, etce maximum n’est atteint que si S est un système complètement intégrable, tout au moins quand il passe une intégrale à 7 —r dimensions par un point quelconque de l’espace (n° 16). Dans le cas général, il semblerait naturel de raisonner comme il suit. Si le système S possède des intégrales M, à o dimensions, on peut supposer 7 —? des varia-

bles x: Me au moyen des p variables restantes, Tire D,

par exemple. Soient

Di = Qi(Las ++ d,) À (Lt RU tra les équations de cette multiplicité. En remplaçant , jpes dæ, ja ., ln par leurs expressions dans les équations (1 ), et en

égalant à zéro les coefficients de dx,, … SAT on a un système

de pr équations aux dérivées partielles pour déterminer les ñ —p fonctions inconnues. En admettant que ces équations sont compatibles, pourvu que leur nombre soit au plus égal au nombre des fonctions inconnues, il faudra que l’on ait |

TeLNA—P, ou PK

pour qu’on puisse affirmer qu'il existe des intégrales à p dimensions. Le raisonnement manque évidemment de rigueur, quoique la conclusion soit exacte, lorsque les coefficients X;4 sont quelconques. Mais on n'obtient ainsi qu’une limite inférieure de la valeur. maximum de p HE 4

Von Weber st ee ont étudié la question d’une façon beaucoup plus approfondie, et obtenu des résultats très généraux. Leurs recherches sont basées sur l'emploi de certains systèmes covariants du système S.