Premier système associé. — Soit M, une multiplicité
intégrale (b>> 1) du système S ; soient (dx, …, dæ,), (dx, .…, Ôæ,)
deux éléments linéaires issus d’un même point (%1, æ+, ..., æ,), et ; :) ñn
appartenant à cette multiplicité. Ces deux éléments linéaires satisfont (n° 8) aux r relations
(5) D OT SUR er OS w/} ayant la même signification que plus haut wx=Sor(d) — don(S).
Nous dirons encore que deux éléments linéaires intégraux (dx:) et (ôx;) sont en involution quand ils vérifient les r relations (5). Les équations qui expriment que deux éléments linéaires sont
intégraux et en involution
&(d)— y En = 0 (6) | W(Ô) — 0, ...,w (8) —0,
WU —=O, s5.53VWr—=0
forment le premier système associé à S. Les 2r premières équations forment deux groupes de r équations distinctes, mais les r équations de la dernière ligne ne sont pas toujours distinctes entre elles, et quelques-unes peuvent-être des combinaisons des premiè- . res, comme nous le verrons par la suite. |
Le système (6) reste le même quand on remplace le système (1) par un système Auvuene Si l’on Done en effet
(7) | D; —= Do: +... + kr, Fr, (et, 850579)
. on en déduit
Qi 30(d) — dOi(8)— LR + rdo(d) + w Ad)èx, ss TnE w(d)5Xr —fdu(5). +: + krdor(à) + 0,(8)d\, +, + e5)d rl,
ou
a ko", +... + XirOr = a w4(d)6 x: +... | | (DE aEjdia ee eye
et les équations (6) entraînent les équations de même forme
0,0) = 0 OAI Ô, (6') Q,(5) = 0, +, 06) —=0,
Inversement, si le déterminant des coefficients X;% n’est pas nul, on tire des relations (7)
(7) | OZ pi ee + ir C2 2,57)
les coefficients ur étant des fonctions ne ne rerln et les relations (6’) entraînent les relations (6). RS
Supposons de même que l’on effectue un changement de variables = œ{ys, Ya, +. Yn), et soient
oi = Yidy, +. + Yindyn <e
la nouvelle expression de la forme w; au moyen des nouvelles variables, D’après la propriété d’invariance du covariant bilinéaire, le système (6) est remplacé par le système de même forme déduit
du système- de Pfaff obtenu en faisant le changement de variables dans les équations (1). En d’autres termes, le système (6) est un covariant du système de Pfaff S, relativement à tout changement de vartables. REF
66. Caractéristiques. ns Parmi les éléments linéaires intégraux issus d’un point, il y a lieu de distinguer ceux qui sont en involution avec tous les autres éléments linéaires intégraux issus du même point ; ce sont les éléments caractéristiques.
Un élément caractéristique (dx:;) vérifie d’abord les r équations (1) ; il satisfait en outre aux équations obtenues en écrivant que les r équations (6) de la dernière ligne, considérées comme des équations linéaires en dx, dx, ..., 0x, sont des conséquences des r équations de la ligne précédente qui, par hypothèse, sont distinctes. Imaginons ces 2r équations ordonnées au rapport à ti, (vie
ñn?
