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ne peut pas obtenir pour w une autre expression où figurent

moins de c variables ; supposons en effet que, par un changement

de variables convenable, w prenne la forme = Z,d2, + ... + Zçdzy,

le nombre q étant inférieur à c, et les coefficients Z; ne pe dant que des q variables 2,, 2,, ..., 54. Il est clair que le système S:4) correspondant à w(ÿ ne peut renfermer plus de g relations linéairement distinctes, puisqu'il ne renferme que q différentielles dz,, …, dgg. N ne peut donc être équivalent au système S, qui, par hypothèse, renferme € >> q équations distinctes. :

Le même raisonnement prouve que si, par un moyen quelconque, on a obtenu pour w une expression où ne figurent que c variables, ces € variables sont des intégrales du systèmeS,. On peut donc, d’une infinité de façons, trouver des expressions de w où ne figurent

que c variables, mais on déduit toutes ces expressions de l’une

d’elles par un changement d’un système de c variables en un nouveau système de c variables. Par la suite, nous dirons que toute intégrale du système S, est une variable TA

Pour obtenir la classe d’une forme de Pfaff,: lil suffit, d’après cela, de chercher le nombre des équations distinctes de $,, c’est-àdire l’ordre des déterminants du tableau T,, de l’ordre le plus élevé, qui ne sont pas nuls. |

Soit w une forme d'ordre pair n = 2p. Si les coefficients X; sont des fonctions quelconques des variables indépendantes, le déter-

minant À ne sera pas nul, et par suite la classe sera égale à 2p. On voit de lamême façon que, pour une forme à un nombre i impair de variables et à coefficients quelconques, la classe est égale au nombre des variables. Nous appellerons, dans la suite, forme ordinaire toute forme dont la classe est égale au nombre des variables qui y figurent, forme exceptionnelle toute forme dont la classe est inférieure au nombre des variables qui y figurent. Connaissant la parité de la classe d’üne forme, il est facile d’avoir une limite du nombre p au moyen du nombre n des variables. Si la classe est

paire, on a 2p n et, par suite, p < . Si ‘la ‘classe est

TI 2 à

impaire, On à 2p + 1 LA, OU p K