CHAPITRE VI. — CLASSE D'UN SYSTÈME DE PFAFF

puisque les r premières sont distinctes, l’un au moins des déterminants d'ordre r déduit du tableau.

sa 2, S'AGN EE:

DTA. PETER. OS XP est différent de zéro. Soit

wi (aide, + ai,dx, + … £ aindæn)5æ, DR | + (ai, dx, + aï,,dx, + + dindæn)0ts +

le covariant bilinéaire de w;. Pour que les r équations w';—0 soient des conséquences des r équations w(5) — 0, où Lt, 0 Un. SONT regardées comme les indéterminées, il faut et il suffit que tous les déterminants d'ordre r + 1 déduits des HART

Xw En Dis à TDR Xi. | ot Le X32 Le & ..

RE er "GFee Xe

soient nuls. On adjoint ainsi aux r équations w;—0o un certain

nombre d'équations nouvelles qui sont également linéaires en dx,, dæ,, …, dx,. Le système ainsi formé

est le système caractéristique. Il est évident, d’après sa significapes même, que c'est un covariant du système de Pfaff relativement à tout changement de variables.

Si le système de Pfaff est résolu par rapport ar différentielles, DL Or par-exemple, on peut former plus simplement les

équations qui définissent les éléments caractéristiques, en portant

dans: w',, ..…, w'} les expressions de ôx,, æ,, …, ôx, tirées des équations w;() — 0, et en égalant à zéro les coefficients de ÔXr41, +, OXn après la substitution. Le système (8) contient au moins r équations linéairement distinctes, et il en contient au pue n. S'il en contient n, ces sAnsens Dapaetent pas d’autre

solution que dx; —0, et il n’y a pas d'éléments caractéristiques. Dans tout autre cas, il y a des éléments de cette espèce.

Quel que soit le système de Pfaff S, le système caractéristique (8) est complètement intégrable. |

Pour le démontrer, nous suivrons exactement la même marche qu'au n° 5. La proposition est évidente si le système contient n ou n— 1 équations linéairement distinctes. Supposons que ce système contienne seulement n — p équations linéairement distinctes (p >> 1). On peut alors trouver, et d’une infinité de façons, ‘une famille de courbes caractéristiques (c’est-à-dire de courbes dont tous les éléments sont caractéristiques), dépendant de n — 1 constantes arbitraires, de façon qu’il passe une de ces courbes par un point arbitraire. Imaginons que l’on ait effectué un changement de variables tel que les équations de cette famille de courbes caractéristiques soient

a Yi = .…. Una 0e;

la variable y, pouvant être choisie à volonté, pourvu qu'elle forme AVEC Yyy Ya +. Yn—1 un Système de n fonctions indépendantes des premières variables. Le système (8) se transforme en un système où ne figure pas la différentielle dy», puisque ce système doit être vérifié quand on y remplace y,, y», .…., yn-1 par des constantes quelconques. En particulier Les équations du système de Pfaff (1) ne contiendront.pas dy après la transformation, Supposons ce one résolu par rapport à dy,, dy:, .…, dyr,

9; = dyi [Yi CS +. + Yi, nAdyn]=0 ( — 1,2; 7). Les relations Nr Ô Yi, rH4dyr+1 ie ÔY;, n1dYn—1 —— dY;, rHA0Yr-HA nc CT Dern dY;, n10yn-1 —= O0

doivent être vérifiées par tous les éléments linéaires intégraux 5yi

du nouveau système quand on prend dy, —=0, .…., dyn-1 = 0. Or,

le coefficient de dy, après cette substitution est, au signe près, ve un

Yi n— dYr+A4 + | = = SYn—1 ;