CHAPITRE VI. — CLASSE D'UN SYSTÈME DE PFAFF
il faudra donc que l’on ait
Yi, r41 A Yi, n—1
dYn PES ] AC ONE AREA LI
dYn
et la variable y, ne figure plus dans le système de Pfaff après le changement de variables. Il est évident que les équations qui définissent les éléments caractéristiques ne contiendront elles-mêmes QUE Yy, Ya ce, Yn—41 ÉYys +. dyn—1, et formeront encore un système de 7 — p équations linéairement distinctes, puisque ce système se déduit aussi du système (8) par un changement de variables. Après p — 1 transformations de cette espèce, on sera donc ramené à un système de nñ — p équations à » — p + 1 variables, c'est’à-dire à un système complètement intégrable.
Pour donner une application de ce résultat, supposons que le système de Pfaff S soit complètement intégrable. On peut alors, par un changement de variables, le remplacer par un système équivalent
= dy=0, …., Gœ=dyr—0;
les covariants bilinéaires Q’,, .….., 0’, sont nuls identiquement, et le système caractéristique se confond avec le système de Pfaff luimême. Donc, pour un système de Pfaff complètement intégrable, tout élément intégral linéaire est un élément caractéristique.
Réciproquement, {out système de Pfaff, pour lequel cette condition est salisfaite, est complètement intégrable. En effet, les équations du système (8) se réduisent alors aux 7 équations du système de Pfaff lui-même. Puisque ce système caractéristique (8) est, on vient de le démontrer, complètement intégrable, il en résulte que le système de Pfaff est complètement intégrable.
On peut encore énoncer cette proposition comme il suit. Pour que le système de Pfaff (1) soit complètement intégrable (1), ul faut et il suffit que les r équations w'; — sotent vérifiées par deux systèmes quelconques d'éléments (dx), (ôxi) qui vérifient respectivement les 2r équations wy(d) —0, wn($) = 0.
Nous appellerons dans la suite variable caractéristique toute
(!\ Cette condition a été donnée par FrRoBENIUS sous une forme équivalente (Journal de Crelle, t. LXXXII, 1887,P. 276), Il est aisé de voir que le dernier énoncé s'applique aussi au cas où les r FEAT du système de Pfaff ne sont pas linéairement distinctes.
intégrale du système caractéristique, multiplicité caractéristique toute multiplicité dont tous les éléments linéaires sont caractéristiques. Si le système (8) se compose de y<Z » équations linéaire-
ment distinctes, les multiplicités caractéristiques d'ordre maximum
sont à » — y dimensions, et toutes les multiplicités caractéristiques d'ordre inférieur à n — y s’obtiennent en prenant une multiplicité arbitraire sur une multiplicité caractéristique d’ordre
maximum. | E Le
67. Classe d’un système de Pfaff. — La classe d’un système de Pfaff est le nombre minimum de variables que l’on puisse laisser figurer dans les équations de ce système par un changement de variables convenable, deux systèmes équivalents étant regardés comme identiques. La classe est égale à l’ordre du système caractéristique (cf. n° 14), c'est-à-dire au nombre des équations linéairement distinctes du système (8). Supposons en effet que ce système renferme y équations linéairement distinctes
(r<y<n). Gomme il est complètement intégrable, nous pouvons
supposer qu'on ait pris un système de variables indépendantes (Yi, Yo +. Yn) tel que le système caractéristique soit équivalent au système | Ke
Tee 0, 1 OU = 0.
Après ce changement de variables, dy 44 …, dyn ne doivent pas
figurer dans les équations du système de Pfaff transformé, puisque
l'élément linéaire OR: À "dy, = 0) dyy4 à + dyn) | est un
élément intégral, quels que soient dy. 14 .., dyn. Si nous sup-
posons le système de Pfaff résolu par rapport à 7 différentielles, à HS
dy, -.. dyr par ÉAARpIé | AE Yi, r+1dyr41 HA ee +Y,,dy.; Can
on démontrera comme au paragraphe précédent que - les coeffi-
‘cients Ÿ; »14, …., Y doivent être indépendants de VPRT HER
et par suite les équations du système transformé ne renferment que les y variables y,, ..., y, et leurs différentielles.
