CHAPITRE VI. — CLASSE D'UN SYSTÈME DE PFAFF

On ne peut mettre le système de Pfaff sous une forme où figu-

rent moins de y variables. En effet, si, par un changement de

variables convenable, on a mis le système de Pfaff sous une forme

où figurent seulement g variables s,, #,, ..., #4 et leurs différen-

tielles, les équations du système caractéristique, qui sont linéaires

en d£,, d£,, ..…, ds, contiendront au plus g équations linéairement distinctes. On ne peut donc avoir q <[Y.

Si, en procédant de deux façons différentes, on a mis le système

de Pfaff sous deux formes équivalentes, l’une ne renfermant que

les y variables (y, y, …., y.) et leurs différentielles, l’autre ne

renfermant que y variables (Eu Zn + 2) et leurs différentiel-

les, le système caractéristique peut lui-même être mis sous les deux formes équivalentes

JO es, CE

lues ou.

ds--0 ...) dE, 0:

Il en résulte que £,,2,, …£, Sont des fonctions de y,,y2, …., Vs

et l’on passe d’une des formes du système de Pfaff à l’autre par un simple changement de variables effectué sur y variables seule- ment. Lorsqu'un système de Pfaff de classe y a été mis ainsi sous une forme où n’entrent que y variables et leurs différentielles, nous dirons qu’il a été ramené à une forme réduite. Il suffit, pour mettre un système sous forme réduite, de prendre pour variables indépendantes un système de y variables caractéristiques dis-. tinctes. |

Dans le cas où y=n, toutes les variables sont caractéristiques, et l’on ne peut diminuer le nombre des variables qui figurent dans les équations du système. Si y—r, nous avons vu que le système est complètement intégrable. On ne peut supposer y=—r + 1. En effet tout système de r équations de Pfaff où figurent seulement r + 1 variables est complètement intégrable, et par suite de classe r. Le cas le plus simple, après celui des systèmes complètement intégrables, est donc celui où ÿy—r +2, qui sera étudié plus ‘loin (chap. VII). Re Les théorèmes établis plus haut sur les multiplicités caractéris-

270 se LECONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.

tiques d’une équation de Pfaff s'étendent immédiatement aux systèmes de Pfaff, et s’établissent de la même façon (n° 17). Le lieu des multiplicités caractéristiques d'ordre maximum

passant par tous les points d’une intégrale M, d'un système de

Pfaff est une nouvelle intégrale M' dont l’ordre est au plus égal à p+Y.

es multiplicités intéarales d'ordre maximum sont engendrées : Ve [tiplicités intéarales d

par des multiplicités caractéristiques d'ordre maximum.

La définition du rang d’une fonction f(x,, &,, ..…., Æn) relative-

ment à une forme de Pfaff (n° 41) s’étend sans difficulté à un système d'équations de Pfaff. On dit qu’une fonction f est de rang p relativement à un système de Pfaff S lorsque, en établissant entre les variables æ:; et leurs différentielles les relations f —C, df —0, le système $S se change en un nouveau système de classe y — 0. On voit immédiatement que ? est nul si f n’est pas une intégrale du système caractéristique, et que p est au moins égal à un, si f est une intégrale de ce système. Mais le nombre p peut être supérieur à wn. Prenons par exemple le système de classe cinq

de; x. dr, =0; du» dr, =6; les fonctions æ,, æ,, æ, sont de rang érois, tandis que æ2 et x, sont de rang un. La proposition suivante se démontre de la même façon que le théorème analogue relatif aux formes symboliques (n° 38). Le rang d’une fonction f relativement à un système de Pfaff S

est égal à ÿ—Y, + 1, y étant la classe de S, y; la classe du sys-

tème S, obtenu en adjoignant l'équation df — o au système S.. D'une façon générale, supposons que l’on ait obtenu p intégra-

les fi, .…, f, dû système caractéristique. Si l’on. fait un changement de variables de façon que ces intégrales soient p des nouvelles variables y,, ..…., y, par exemple, le nouveau système de Pfaff, où l’on fait y: —C;, dy; = 0, est au plus de classe y— p, mais il peut être de classe inférieure. Par exemple, si ce nouveau système est de classe r, il sera complètement intégrable. |

On peut aussi quelquefois simplifier l'intégration du système caractéristique, à l’aide de certains systèmes covariants. On en verra un exemple plus loin (n° 76, p. 311).