CHAPITRE VI. — CLASSE D'UN SYSTÈME DE PFAFF

Exemple. — Soit S;: un système de deux équations de Pfaff à cinq variables,

tu); = A,0T; + A,d2, ent Ad, 0;

S td =B,d2, + B,drs+… + B.dx, —0;

nous supposerons, pour fixer les idées, que l’on peut résoudre ce système par rapport à dx, et dx;. Dans les covariants w’,, w',, on peut remplacer dx,, dx;, dx,, dæ, par leurs expressions tirées des équations w;(d) —0,w;(à)— 0, et l’on obtient deux conditions de la forme ci-dessous pour que deux éléments linéaires intégraux soient en. DIN

AO Pre dasaee) + C(dr x, — dx 5x) + G(dx ox, — dx Ît,)—0, or ere +D,(dx ir, — dx èx;) Lee > + D (AR Ts — dxÿx,)—0.

- Considérons (de du ur.) (Er, 2) comme les coordonnées homogènes de deux points m, y d’un plan, et soient P;, P,les points de ce plan de coordonnées (C,, C,, G;), (D,, D,, D,). La relation w',;—o exprime que les points m, pu, P, sont en ligne droite, et la relation w'; — o éxprime que les points m, a, P, sont en ligne droite. Pour qu’il y ait un élément caractéristique, il faut et il suffit que les deux points P,, P, soient confondus, ou que l’on ait

le système est alors de classe quatre. Il en est ainsi en particulier si l’une des équations w', — 0, w',— 0 est vérifiée identiquement. Si les deux relations sont vérifiées identiquement, le système est

complètement intégrable {voir n° 65).

Considérons en particulier le système

= ( où = do + Adu + Bdx + Cdy= 0, 9 = dw + Aidu - B:dx + Cidy = O,

temps =

"où les coefficients À, B, C, As B,, CG BAT des. fonctions des deux - variables æ, y seulement, On a

pe (Se it — (dx dy — Fu Le es à (you — mes ie À (dudx — dædu) — Rip dB CG mio ( F5 A (dxèy — dyd) = de (dyèu — dudy)

Feu (duix — dxdu)= 0.

Pour qu'il y ait un élément caractéristique, il faudra que l’on ait

oB CG JA Le

dy TX AVE EN RU dy DT dy EVA Il faut donc que le jacobien Rp soit nul. Si A et A se > rédui-

DA DA, DA A ox "0x *2y ” dy les et le système caractéristique se réduit aux quatre équations

sent à des constantes, les quatre dérivées — sont nul-

HE sr i0: dy —0, du+Adu—=o, :dw—-Aidu= 0,

et le système est de quatrième classe, à moins que l’on n’ait en même dB OCR 2 2G dY = :0@ 0ÿ 0 intégrable.

Supposons que l’on ait A1 = #(A), A n’étant pas constant et dépendant de la variable æ par exemple. Le système sera de quatrième | classe si l’ona | | | | | 0B1 9C 2B 2C PRET as see

, et:le one est alors complètement

68. Application des formes symboliques. — On peut présenter les résultats qui précèdent sous une forme un peu plus générale, en utilisant les résultats et les notations du chapitre II. Etant donnée une forme symbolique & de degré quelconque p en dan, …; de, Soient wi, we, lun formes de Pfaff linéairement distinctes en LPS EE AA forme à peut s'exprimer par un polynome symbolique de degré p en w,, w,, ..., w,. Rappelons encore la notation suivante. Soient @ et II deux formes symboli-

* « J # "A Pal N e ne NE - SSÉE