CHAPITRE VI. — CLASSE D'UN SYSTÈME DE PFAFF
ques de même degré, et w,, w,, .…, w, des formes de degré quelconque, dont chacune est de degré inférieur ou au ea égal à celui de a. Si l’on peut trouver de nouvelles formes ,, … Ty telles que
l'on ait identiquement Q— I + ro, +. + LA nous écrirons cette relation sous forme de congruence \ 9 = Il (mod. w,, w,, ..., w,) ; 7 ° L LT NE Es il est clair que la congruence précédente entraine la suivante, Fe L u !
Q'= Il (mod. w;;'...,.0,, w',,-.:, 0"),
d’après la règle qui donne la forme dérivée d’un produit nn bnte
que (n° 26).
Supposons en particulier que © soit le covariant bilinéaire d’une
forme de Pfaff w, et que w,, w,, …, w, soient aussi des formes de
Pfafr.
La congruence w'— 0 (mod. y; Way... w), sente à l'égalité D'—=T,0, + T0, + …. + T,o
OÙ Ty, F9» +, TV SONt de nouvelles formes de Pfaff, exprime que
deux éléments linéaires quelconques (dx,, dx,, …, dæ,), (ôæ,, PORTE èx,) satisfaisant aux relations
(de 0 = hr (B)Eso, Ke raseho
sont toujours en involution relativement à l'équation w— 0. En
effet, le produit symbolique r,w, par exemple ds eus la diffé-
rence des deux produits g 6(d)\$) — (5) Fi(d),
et par suite ce produit symbolique est nul si l’on a à la fois w,(d)—0, w,(8) — 0. Il en est évidemment de même des autres pro-
duits OT.
Cela pos: soit S un système de Pfaff de r équations Oo, —0 (0 PS 9 | .. 0 ; LG Pret URL AUS | 48
aux r formes w,, w,, .…., ur adjoignons pæn—r formes nouvelles ,; m9, 6, w, , de façon que lesr +p—n formes Wj, BA Soient
linéairement A. Toute forme symbolique a de ré quelconque, ‘et en particulier tout covariant bilinéaire w' ds peuts *exprimer symboliquement au moyen de ces n formes. Si l’on réunit ensemble les produits au où ne figurent que les formes Dis Dao ce Dos le covariant w'; peut s'exprimer de la façon sui-
vante,
D Ti + ce Æ Tirür + Ÿ'Anonse, | (ART, 254670) h,k (
les x étant d’autres formes de Pfaff, et les coefficients A;rx étant des fonctions des n variables x;. Nous écrirons ces égalités sous forme de congruences, ve
= Ÿ Anronok (mod. U3 Woy o..) or), ti 29083 RE h,k
Dans les paragraphes précédents, nous avions Supposé que les r
formes w,, &,, .…, ur étaient linéairement distinctes relativement
aux différentielles dx,, …, dæxr, et nous avions pris 5, = Art,
7 D) dxn, mais il n’est pas nécessaire que ces formes auxiliai-
TES Dis Des 4) D b. soient des différentielles.exactes. Il suffit qu’elles
forment avec/w,,..., &r un système de n formes linéairement indépendantes. Tout système de valeurs de m,, ®,, ..., m, définit un. élément intégral du système de Pfaff. Pour que deux éléments linéaires intégraux (dx,, dæ,, .…, dxn), (Ôxs, ., ÔXr) Soient en involution relativement au Ste il faudra, d’après une remarque antérieure, que l’on ait les r relations
DT Sn(d)s(S) — Sh(d)SA(S) LE EU SR h, k
Cherchons encore comment seront déterminés les éléments carac-
téristiques. La forme symbolique
D AihkonOk h, k
RAA Dr":
Ve
