CHAPITRE Vi. — CLASSE D'UN SYSTÈME DE PFAFF

étant de rang pair. 2v peut être ramenée à une forme réduite (n° 82)

lle + gll4 + ce + Ho, lle, IL, [gs +, 9, étant 2y formes linéairement distinctes qui s’expri-

ment linéairement au moyen de &,, …., w.. Tout élément intégral

: | p dx,, …, dx.) qui satisfait aux 2° relations 1 ñ q

Il, — 0, .:., , — 0 :

est en involution avec tous les éléments linéaires intégraux du système relativement à l'équation w;— o. En effet on a

mn, =101,(d)n, (à) — H(d)M,(8) 0, quel que soit l'élément intégral (0x, ..., èæ,). Inversement, soit (ôx,, ..…, Ôæ,) un élément linéaire intégral quelconque du système, 11,(5), .…, I(0) ont des valeurs arbitraires pour cet élément,

et le polynome symbolique | | Elle + U3lls + + + yy—1lloy

ne peut être nul quel que soit cet élément intégral que si l’on a BAG OP ETS 07

On a démontré antérieurement (n° 82) que Les 2v équations Il; —0

sont équivalentes aux équations Ps LS F \ dAarGr— 0, d'Anro —0, PE D Arme 0.

k k ke

En faisant successivement {—1, 2, ...,r, on obtient un système d'équations qui déterminent les éléments caractéristiques. Pour qu’un système de Pfaff soit complètement intégrable, il faut et 1l suffit que tous les éléments linéaires intégraux soient caractéristiques, c'est-à-dire que tous les coefficients A;z} soient nuls. On

a alors les 7 congruences

w';— 0 (mod. wi, Wy, ..., Gr),

et inversement ces 7 congruences expriment que le système est complètement intégrable (1). |

(1) Cartaw, Bulletin de la Société Mathématique, p. 248, t. XXIX (1901), |