Exemples. — 1° Considérons le système de deux équa

tions simultanées du second ordre

(o) r f(x, y, 2,p:q;8) tt y) Pr rs); à toute intégrale de ce système correspond une intégrale à deux. dimensions M, du système de Pfaff à 6 variables x, y,£, p, q,s (Lo) 1 w,= pdx + qdy — ds —0, w—=/fdx +sdy—dp—=0, v,=sdx +edy— dg=0.

Inversement toute intégrale M; du système (10) donnera une intégrale des équations (g), pourvu que les équations qui définissent M, ne donnent qu'une relation entre x, y, £. Formons os w'2, W',; en y remplaçant dz, dp, dq, ÿz, ôp, ùq par leurs expressions au moyen de dx, dy, ÿx, ou tirées des équations (0) ellesmêmes, il reste

A O0 es dl (arèy—dyie) +- 2 (dxÿs—dsèx) + dyès— es Lo " Fdyèx —didy] + 2 (dys—dsèy) + dxës — ôxds,

‘où l’on a posé, pour abréger,

d d à à ù dx Sat Dre RSR LUN DT AMG PR ET ANS, CPIET EEE DANCE

En égalant à zéro les coefficients de ôx, dy, ôs dans w', et ge on obtient les six relations suivantes pour définir les ni Carac= téristiques

A NE Ra SR EN MC ETES ph dy + > soit à dxæ—ds=0, . dx +dy—=0,

1) dè d RER d ‘4 ns ae 4 AE MR LS -dy—ds—0, Fe dx + ds —ù, Fe dy + dx=0.

. Parmi ces équations, il y en a toujours au moins deux de distinctes ; la classe du système (10) est donc cinq ou six. Pour que le système soit de classe cinq, il faut.et il suffit que le système (11) se réduise à deux équations seulement. En égalant les deux

CHAPITRE VI. — CLASSE D UN SYSTÈME DE PFAFF. 277 dy EN 13 valeurs der. , On a une première condition ‘ of 9 (I 2) ù of dur = ds àS

En égalant ensuite les expressions de ds tirées des autres relations, on obtient une nouvelle condition seulement |

| dy of, df gr dx 0s RENTE SM

Si les deux conditions (12) et (13) sont satisfaites, les équations (10)

et (11) se réduisent à cinq équations; il y a une famille de courbes :

caractéristiques, déterminées par les équations différentielles dy = — 2 dx, ds —pdx + qdy, dp= fdx + sdy; . dq=sdx + ody, ds = de

Toute intégrale à deux dimensions M, est engendrée, d’après la théorie générale, par une famille de caractéristiques issues des

différents points d’une intégrale à une dimension du système. Il'

suffira, pour obtenir celles-ci, de trouver six fonctions &,, y, 20 Po Go» So d'un paramètre à vérifiant les équations

dZ9 | DL do dDo. dLo da (15) da I pe ce (ion du ARE PAL I & 240 - T9 Yo —S9 à nés à vas dx ni dx

Le système (9) est dit alors en involulion, et admet une infinité d’intégrales dépendant d’une fonction arbitraire. Pour résoudre le problème de Cauchy, c’est-à-dire pour déterminer les intégrales passant par une courbe donnée, on peut supposer &,, y5, % données en fonction de « ; les équations (15) déterminent alors Pos Go: s, par l'intégration d’une équation différentielle du premier ordre.

L'intégrale cherchée M, est le lieu des multiplicités caractéristi-

ques issues des différents points (Xy, Yo, £os Pos os So) ainsi obtenus (‘). On remarquera que le problème de Cauchy, admet une infinité de solutions dépendant d’une constante arbitraire.

(1) E. Goursar, Journal de l'Ecole Polytechnique, 2e Série, 3 cahier (1897), l'E LC NS à | ER E. Carta, Annales de l'Ecole Normale Supérieure t. XX VII, 3 Série, (1910),

afin SE nt, STEEL, EP UN Lt. POP OF D'ART IN MR LUS AT," .% AE De RAC SR Pole pére Te es dE Le ee ie À Ce # Tr ï 478 : . D É 2 7 : TS | Lo Gi, + Ke * QUE Fay T's Fe Sem, A. TN Tes OT Là K:1 ù : ; à FU & À 1 as + : x. cs & ù di LAS ré

50 Soient a et b deux fonctions des cinq variables æ, y, &, P; q et d’un paramètre 4. En éliminant ce paramètre u entre les deux relations