CHAPITRE Vi. — CLASSE D'UN SYSTÈME DE PFAFF

% étant une fonction auxiliaire de æ, y, £, p, q, u. En écrivant que

2 L 3 ; / du les trois dernières équations donnent la même valeur pour += , on

obtient une seule condition nouvelle à laquelle doit satisfaire la fonction 4. Si cette condition est vérifiée, l'intégration de l’équa-

tion aux dérivées partielles considérée est ramenée à l'intégration

d’un système d'équations différentielles ordinaires, celui qui définit les caractéristiques du système de Pfaff (17) (1).

30 On a déjà remarqué (n° 1 8) que l'équation de Pfaff à 2n variables,

dont l’intégration est équivalente à l’intégration dé l’équation du pre-

mier ordre

d£Z dZ te .. Pas se se) est de classe 2n — 1. Cette équation admet donc des caractéristiques à uñé dimension, qu'il suffit de déterminer pour que le problème soit résolu. | Considérons maintenant un système normal de r équations du premier ordre (r > 1},

, d24 mi d£o dr de (19) ESA fu er ss RAT EE =fr)

les seconds membres fi étant des fonctions des variables æi, des r fonc- : tions inconnues £», et de leurs dérivées du premier ordre par rapport aux variables x2,...,æ,. À tout système d’intégrales des équations (10) correspond une intégrale à n dimensions M, du système de Pfaff

(20) oi = fida + pisdæo + ... + Pind®n — dzi = Die (LR TS TN AS

“ , , F2 do , d£h « \ où l’on a remplacé dans fi la dérivée Ses Par Phk. Inversement, à toute

Th multiplicité intégrale à n dimensions M, de ce système (20) correspond un système d’intégrales des équations (19), pourvu que %1, Lo, ..., Ln soient des variables indépendantes sur cette multiplicité. En effet, les relations (20) prouvent que le long de Mh, toutes les variables z;, pik peuvent s'exprimer au moÿen de &,, Æo, ..., Æn, et l’on à

2j ef CFA A A DT — J lo | DL == Dies 6.9 En — Din.

(:) Pour l’étude des équations de cette classe, et leurs rapports avec les systèmes en involution (9), voir E, Goursar, Leçons sur l'intégration des équations aux dérivées partielles du second ordre (tome I, p. 210, tome II, p: 164- 171), èt lé Mémoire de E. Carran cité à la page 277.

de Pfaff (20) que si toutes les dérivées ee

Il semble assez naturel de rechercher dans quels cas la méthode de Cauchy est applicable au système (19). 11 faut pour cela:que le système de Pfaff (20) admette des caractéristiques. |

‘On a | LA ea dfidæs dfidæs <- dpis0Ta Se aies + +... + dpind Zn es dXn0pin,

si lon remplace dans dfiet dfi les différentielles de dzh par leurs expressions tirées des équations (20) elles-mêmes, les éléments caractéristiques doivent satisfaire aux relations obtenues en égalant à zÉrO les coefficients de dx, ..., d0æ,, et de tous les dpa, après cette substitution. Le coefficient de ne si À est différent de 1, est égal à

DA dphk

vf

Si l’une des dérivées dDhk

(i h) n’est pas nulle, on a donc, pour un élément caractéristique, dx; —0; les équations w';— 0 prouvent alors que l’on a, quel que soit #,

dxi=0, dis —0,...,.dtn=0,, dpa=o,s..,.dpins= 6 : dfi=0;

et par suite dzi = 0, pour un élément caractéristique. Il ne peut donc y avoir d'éléments caractéristiques pour le systeme

fi P

sont nulles lorsque À et

sont deux nombres différents. Le système (19) doit donc être de la forme

dE ie | | D EN DRE TE Pen (19/) pu fi Faréag ee ta ON: AAA Ar ST PTS Ne nee) , CE | ‘ CE *

(ns ue À te

Cette condition étant supposée remplie, lé ten de dpis, par exemple dans w'; est

of | pi

on doit donc avoir, pour un nou caractéristique,

à pat Bus É NT

a — dXo s

On vient de démontrer que dx ne peut être nul pour un élément

caractéristique. Il faut donc que soit indépendant dei;ilse réduit

fi Pi:

donc à une fonction de x, me, ..., Lns Tiseo:s Zn indépendante de 1: