CHAPITRE VI. — CLASSE D'UN SYSTÈME DE PFAFF

af: dfi

Il en est évidemment de même de Se dPis dPin

, et par suite la

fonction f: est de la forme

free = Aspis +" .,..+# AnPin + Bi,

AUS Ans Die LC DATE dépendant quéde La Ni Danti co Sri achevant les calculs, on vérifie que le système (20) admet des multiplicités caractéristiques à une dimension, mais ce résultat était évident a priori, car le système est alors un. système de la forme signalée par Jacobi (Leçons, Chap. IT, p. 99).

4° Considérons le système des quatre équations simultanées

d2£ 22g d2g : d2g d2g ARE Ve a 21 103 RE Re COM Ÿ PR rt Es (o1) dTL1d0L® Lo dTdL3 dDL1° DTLo LPO EE à : Lo 22z ES d2z ia d2z +" LDLC 3 ? 52 2 DL? DX1? . DL? :

à une seule fonction inconnue # SR C NPC désignent des constantes. En prenant comme inconnues Rare d£ d£ dz | 22z ‘9?g

Pa — >; 2 — » P3 — Ca u — , D — , da: P Le T3 dCi? h# LA

l’intégration du système (21) se ramène à la recherche des intégrales M; du système de Pfaff :

d£ = pidæi + pedto EpsdXs,

dpa = udxs + (0 + c)dxs + (u +v + c'\dæs,

dpe = (v + cd + vds + (2v + c')dæs,

dps = (u + v + c')dæs + (20 + c'')dæs + (u + 3v + c')dæs,

pour lesquelles il n’existe aucune relation entre æ4, 2, æ3. En égalant à zéro les covariants bilinéaires, on voit facilement que ce système admet une famille de caractéristiques à une dimension déterminées par

les équations (22) elles-mêmes jointes aux relations (23) DUREE UE 6; dti = du = dr:

F caractéristique issue du point æ4°, æo°, æs°, 20, pa0, pal, p30, w0, v° de l’espace à neuf dimensions est représentée par les formules

1h à D= 00, . Li 0 + é, Le —= Lo LE {, La = Lÿ9 — À,

(24) Pi=p1 +(c— cc}, p2=p2° + (ce — c"}é, P3=p3° + (c’ Nue cje

| 144 j 2 29 + (ps9 + pat — pat) + Ce MA à )e.

t désignant une variable auxiliaire.

L'intégration est donc ramenée à la recherche des intégrales à deux

282 LEGCONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.

dimensions du système (22). Cherchons par exemple les intégrales pour lesquelles æ3 est égalé à une constante æs°. Le système (22) devient

dz° = pad! FE padx,

dp,9 = ua + (09 + c)dxa,

dpy9 = (o° + Se + v0dx,

dpa = (u9 + 00 + c'}dæ0 + (au? +- sn .

l'intégration du système formé par les trois premières équations se ramène à l'intégration d’une équation aux dérivées partielles du second . ordre à deux variables indépendantes

2250 220 1 AR } TE A RE PP A Es C4 mas Pat |

* . 7 CRE , 229 & a L \ En prenant pour inconnue auxiliaire la dérivée Sos 08 est conduit à

une équation du premier ordre, et on en tire facilement l'intégrale

générale de l'équation (25),

por CX19X90 + f(2c49 + at) + © (x);

» L2 Li] LA U LA 0 f et ® étant des fonctions arbitraires. On a ensuite 4° = : L | : Œi pa = 020 d Lo À RO ET 0 "(20 u = f"(a9 + Æn°) + g"(œ0), — xs}

6x Re + ds),

dps = [2f"(249 + x) + v”(xs 0) + cd + [af"(219 +) + c']dæs?, . Ps= 2f"(ari + æi!) 4 p'(a10) + c'29 + cas + CG,

C étant une nouvelle constante. En remplaçant 20, p19, Pat, pa0 par les expressions précédentes dans les équations (24), les formules qui donnent les valeurs de x, æe, æ3, £, le long d’une caractéristique deviennent

Die dits = mi RE Dre ET A PA 2 = cartes + flat + œat) + plat) + [(o— chat + (6 — ce)? — Ce

Lc—c—c rer e2

Il suffira d'éliminer {, æ,°, x pour Do res générale du système (21).

Cet exemple est emprunté à M. Beudon qui a étudié une QUES étendue d'équations aux dérivées partielles d’ordre supérieur à une seule fonction inconnue, auxquelles on peut étendre la méthode de Cauchy

LA pe