CHAPITRE VI. —— CLASSE D'UN SYSTÈME DE PFAFF

[Sur les systèmes d'équations aux dérivées partielles dont les caractéristiques dépendent d’un nombre fini de paramètres; (Annales de l'Ecole Normale Supérieure, t. XIII, Supplément, 1896)], Les systèmes de M. Beudon peuvent être remplacés par des systèmes de Pfaff, admettant des éléments caractéristiques.

90 Soit (26) ECC SPLIT) SE) 0

une équation aux dérivées partielles du second ordre; pour plus de symétrie, au lieu de supposer l’équation résolue par rapport à l’une des dérivées du second ordre, nous supposerons qu’on a exprimé ces dérivées r, s, { au moyen de x, y, z, p, q et de deux variables auxiliaires w et v. L'intégration de l'équation (26) revient à la recherche des intégrales M; du système de Pfaff à sept variables æ, y, £, p,q, ü,v :

(27) o, = ds — pdx— qdy =0, &2— dp—rdx —sdy—=0, ‘w;= dq — sdæ—idy = 0,

où l’on suppose r, s, é remplacées par leurs expressions au moyen de D, Y, 2, P, Q, ü, v. De plus, la multiplicité M, doit être telle qu’il n'existe aucune relation entré les variables & et y le long de cette multiplicité. Le système (27) n’admet pas d'éléments caractéristiques. En effet, supposons, pour HHOBCeE ais ret s soient indépendantes, de fan que l’on puisse prendre r = u,s —v; on à alots

w' = drdx — drdx + dsdy — dsdy :

pour un élément caractéristique, on devrait donc avoir dt =0, Ays0, dræ0;. .dS'#0, et par suite

æ dp + dg 210,

Mais on peut quelquefois remplacer le système de Pfaff (26) par un

système de deux équations admettant des éléments caractéristiques. Supposons, en effet, que l’équation (26), où l’on regarde x, y, £,p,q

comme des paramètres, et r,s, { comme les coordonnées d’un point de l’espace à trois dimensions, représente une surface réglée dont les géné-

ratrices sont parallèles à celles du cône r£—s?=0. On peut alors prendre pour r, s, { des expressions de la forme suivante

r=f+gn, s=fi+obb, 4=fi+%,

fi, [2 3, ©, à étant des fonctions de x, y,z2,p, q,u. Les deux dernières équations du système (27) deviennent

o = dp — (fi + pv)dx = (fa + pho)dy = 0, 3 = dq —(f2 + ghv)de — (fs + Wo)dy = 0.

On en déduit immédiatement une combinaison où ne figure plus la variable v,

co = ÿos — qus = Ÿdp— pdq — (fit —frr)de — (Ab — fs?)dy = 0,

et l'intégration de l’équation (26) peut aussi être remplacée par l’intégration du système de deux équations de Pfaff à six variables

04 = 0, yes Où

Or ce système est de la forme du système (14) considéré plus haut, et

. nous avons observé qu’il peut admettre des éléments caractéristiques (1). |