Eléments singuliers. — Soit (AL Es, NL) UE

élément linéaire intégral e,; non caractéristique (pour abréger, nous représenterons un élément linéaire intégral par l’une des lettres €e1, &,). Les éléments linéaires intégraux , en involution avec e, sont déterminés par le système des 27 équations linéaires en CLIM rs x, C8) | es MIO o($) = 0 0, Û | L + y = 0, ce Dr 0, qui se réduisent à 27 — q équations linéairement distinctes PS pouvant être au), si l'élément considéré €, n ‘est pas pris d’une façon

() Il semble Noel au premier abord que l'intégration d’une équation aux dérivées partielles du second ordre puisse se ramener à l'intégration

d’un système de Pfaff sans éléments caractéristiques, et aussi quelquefois à

l'intégration d’un autre système de Pfaff admettant des éléments caractéristiques. Mais il faut remarquer qu’à une intégrale M, du premier système ne correspond pas toujour$ une intégrale M', du second. Par exemple l’intégration de l'équation rt - $? = o peut se ramener à trois équations de Pfaff

(Z) ds - pdæ — qdy =0, dp—rdx + sdy=0o, : rdq — rsdæ — s’dy —0,

et aussi à l'intégration du système de deux équations ('} d£ — pdx — dy —=o, dp—udg=0o, où u =— es

Le système (>) admet l'intégrale M, représentée par les cinq équations

Du Va =b, sav ty RO LE TN Eir af lo) =0; "SP (D) 0,

où a, b, c sont des constantes arbitraires, f(x) une fonction arbitraire, æ et £

les deux variables indépendantes. A cette intégrale M, correspond une inté-

grale M’, de (x!). Il est à remarquer que tous les éléments de cette inté-

grale M, sont des éléments singuliers du système (2/) (voir n°70). Il est évi-

dent d’ailleurs qu’à cette intégrale M, ne correspond pas une intégrale de l'équation du second ordre rf—s? = 0, au sens restreint du mot,

l'intégration du système de :