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ARE LE) MOIS Mer TROT 27e on a de même

w', = dsèx — dxès + dtôy — dyôt.

Les deux équations w', —0, w',—0 déterminent les éléments

intégraux (0x, ôy, Ôs, 0) qui sont en involution avec l'élément intégral (dx, dy, ds, dt). Si cet élément est quelconque, les deux équations w',—0, w',=—0 sont distinctes, et l’on peut choisir arbitrairement les rapports de deux des différentielles ôx, ôy, ôs, Ô{ à l’une d’elles. Pour que l’élément (dx, dy, ds, dt) soit un élément singulier, il faut et il suffit que les deux équations w',—=0, w',= 0 ne soient pas distinctes, quand on y regarde ÔX, Ôy, dS, À | comme les inconnues. On doit donc avoir, pour un élément singu-

lier, (Y + gZ + Ps + Qédy + Sds + Tdi ds—(Y + gL+Ps+Q{)dæx 3 ds FA 4 dt (OU SEM NET | SRE TEE

En égalant les deux derniers rapports, on obtient une équation du

second degré en dx et dy

(32) | dy? + Sdxdy — Tdx? — p

qui admet en général deux racines distinctes dy = rudx, dy = md.

Si l’on prend par exemple dy = mdzx, on voit facilement que les équations (31) se réduisent à deux équations seulement

33 dy =nmudæx, (59) Tdi — mds + mA + qA + Ps + Qhdtæ 0

En adjoignant ces deux relations aux équations (29), On à un Système de cinq équations de Pfaif à sept variables æ, y, £, p, 4, S, t, qui définissent une famille d'éléments singuliers du système (29). On obtient une seconde famille d'éléments Er en remplaçant nm; par m,. |

Le système de Pfaff formé des cinq équations (29) et (33) admet une infinité d’intégrales à une dimension, dépendant d’une fonction arbitraire, car on peut prendre pour l’une dé£ variables s ou # une fonction arbitraire de x, et l’on a un système d'équations différentielles ordinaires pour déterminer les cinq autres variables en fonction de x. Ces multiplicités sont les caractéristiques de Monge de l'équation (30) et du système (29). Les multiplictés