CHAPITRE VI, — CLASSE D'UN SYSTÈME DE PFAFF

caractéristiques dont il a été question jusqu'ici, et qui ne dépen-

dent que d’un nombre fini de constantes arbitraires, sont les carac-

téristiques de Cauch y.

Considérons encore un système de deux équations de Pfaff à six variables

Dé NOT) + A,dæ, +... + Ad; — 0,

[3 s (34) o, = B,dx, + B,dæ, +... + Bd —0;

ces deux équations étant distinctes, on peut les résoudre par rapport à deux des différentielles qui y figurent, par rapport à dx, et dæ,;, par exemple. Cela étant, si, dans les covariants bilinéaires w',, 0’, on remplace dx, dx,, ôæs, Ôæ, par leurs expressions au moyen de dx, …, dæ,, dan, .…., èæ,, les deux équations w', —=0,

w',—= 0 prennent la forme

CU DE An(dædar— dædæi) = 0, 1: À

w SPA > Bix( dx d ty — APR #2 | CR

les coefficients A;x, Bi s'exprimant au moyen des fonctions A;, Bx, et de leurs dérivées partielles du premier ordre,

Tout système de valeurs non toutes nulles (dx,, dx,, dxs, dx;) définit un élément linéaire intégral e, du système (34), issu d’un

point (x,, &, ..., &) de l’espace à six dimensions. Ce point étant

supposé dent et de situation générale, les éléments linéaires intégraux qui en sont issus forment une multiplicité à trois dimensions. Si l'on considère dx,,dx,, dx;, dx, comme les coordonnées homogènes d’un point dans l’espace à trois dimensions, on peut dire qu’à tout point m de l’espace à trois dimensions correspond un élément linéaire intégral e, du système (34); et réciproquement. Soient e,, «, deux éléments linéaires intégraux en involution du système,mn et p les points correspondants de l’espace ; nous dirons aussi, pour abréger, que ces deux points sont en involution, Les coordonnées (dx:), (ôx:i) de deux points en involution doivent satisfaire aux deux relations (35), qui sont en général distinctes. Le

point m étant donné, le lieu des points 4 en involution avec rm est donc en général une droite D issue de ce point, et, d’après la forme bilinéaire des relations (35), on voit que deux points quelconques de cette droite D sont aussi en involution. Tout élément intégral ei est donc en général en involution avec œ! éléments linéaires intégraux issus du même point.

Cette conclusion est en défaut pour certains éléments intégraux. En effet, les relations (35) expriment que la droite D qui joint deux points en involution m et y appartient à une congruence linéaire. Supposons, ce qui est le cas général, que les deux directrices A,, A, de la congruence ne sont pas dans un même plan. Il est évident géométriquement que, si le point m» n’est pas situé sur l’une de ces directrices, le lieu des points x en involution avec m'est la droite

D passant par M et qui rencontre A, et A,. Mais si le point m est

sur la droite A,, par exemple, ce point est en involution avec tout point k du plan passant par m et par A, ; l'élément intégral COTrespondant e, est donc en involution avec æ? éléments linéaires intégraux «,. Il y a par conséquent deux familles distinctes d’éléments intégraux singuliers, représentés par les points de deux droites A,, À,, qui ne sont pas dans un même plan. La discussion géométrique prouve de plus qu’il n’y a pas d’élément caractéristique et le système (34) est de sixième classe.

Il peut aussi y avoir à la fois des é/éments caractéristiques et des éléments singuliers non caractéristiques. Supposons en effet que la congruence définie par les deux relations (35) soit une congruence singulière, composée des droites situées dans un plan P, et des droites qui passent par un point déterminé O de ce plan, pour toutés les positions du point (X,, x2, .…,æ). Le point O est en involution avec tout autre point de l’espace; chaque point CB rate est donc l’origine d’un élément caractéristique, et le système (34) est de cinquième classe. Maïs il y a aussi des éléments

singuliers non caractéristiques. En effet, tout point m»m du plan P

est en involution avec un autre point quelconque # du même plan, tandis qu’un point » hors du plan P n’est en involution qu'avec les points de la droite Om. Tous les points du plan P représentent donc des éléments singuliers qui sont en involution avec o? élé-

ments intégraux, tandis qu’un point quelconque de l’espace (en,