CHAPITRE VI. — CLASSE D'UN SYSTÈME DE PFAÂFF

dehors du plan P) représente un élément intégral qui n'est en involution qu'avec œ!t éléments intégraux.

Dans le cas général où les deux directrices de la congruence ne

se coupent pas, chaque point de l’espace à six dimensions est l'ori-

gine de æ! éléments singuliers de chaque famille, définis par qua-

‘tre équations linéaires en dx,, ..., dx. Il existe donc une infinité

de multiplicités intégrales à une dimension, dépendant d’une fonction arbitraire, dont tous les éléments linéaires sont des éléments singuliers ; ce sont les caractéristiques de Monge du système. Pour déterminer par le calcul les éléments singuliers du système (34), considérons une équation quelconque de ce système Q— vw, + pw;=—= 0, où À et L sont des fonctions prises arbitraire-

ment des six variables ; on a

Q'— (lo, + po) = vw’, + po’,

ou, en remplaçant w',, w’,, par leurs expressions (35),

o! = (Aix + uBix)\dtidtx — dxxdti) (RE 394) ik Len ; \ La forme symbolique ©”, que l’on peut encore écrire sous forme abrégée (n° 22) | Q— D Qu + uBi)dæidær, LUN est en général de rang quatre, si \et # sont quelconques. Pour qu’elle soit de rang deux, il faut et il suffit que le déterminant de Pfaff formé par les coefficients XA;x + uB;x soit nul. Or ce déterminant est le carré d’une forme homogène du second degré en X, p, qui s’annüle en général pour deux valeurs différentes du

À AT | L rapport —. On peut donc, en général, trouver deux formes dis- ? LE .

tinctes 9, = ko, + mio, 0, —= 2,0, + m0, telles que les deux for-

mes symboliques 9’,, a’, soient de rang deux, ce qui conduit à des

relations de la forme (n° 82)

? , ! | ER 0, =(ko, + mo,) = ou, Q'y = (Ro + po) = 0506) G, Prob, ; | a. 19

(mod. COTE Wa),

(mod. w,, e |

4 ee 2 x f | %, 63, 63, 04 étant de nouvellés formes de Pfaff, Tous les éléments”

linéaires intégraux qui vérifient les quatre relations

W,—= 0, w,—0, W3—=0, W;—0 sont donc en involution avec tous les autres éléments linéaires intégraux du système (34) relativement à l'équation ju, + pyw,—0 ; ce sont des éléments singuliers. La seconde famille d'éléments singuliers est définie de même par le système d'équations (”)

W,—0, We — 0, W, = O, WU 0.

71. Recherche des éléments singuliers. — Les r équations d’un système de Pfaff S étant supposées résolues par rapport

à dx,, dx, ..., dxr, nous avons

(36) 0x = S'An(dndr — dxxèt), (mod. w,, &,,..., ur) h,k CE re NUE (ARRETE LAN

les coefficients A;nx étant des fonctions des nr variables x; Ordon-

nons les 7 équations w';— 0 par rapport à Otri1, - . +» OUn ; 16 Coefficient de ôxz dans l’équation w’;— 0 est | É Ps | AinkdTh; (re 7; us PSE RE us A) hk=r+1 Soit s le rang du tableau T, à n —r colonnes et à r lignes formé par ces coefficients, c’est-à-dire l’ordre des déterminants de l’ordre

le plus élevé de ce tableau, qui ne sont pas tous nuls identiquement,

quels que soient dxr+ 1, dar+2, …, dan. Ce nombre s est le caractère du système $ (?). Les r équations w1=0, ..., wr=0 $e réduisent à s équations linéairement distinctes pour détermi-

ner DXr+1 +.» On lorsque d&r44, .…, dÆn ont des valeurs arbi-

traires ; il est clair, d’après cela, que ce nombre s est un énvartant du système.

Supposons, pour fixer les idées, que les équations w1=—0, .…,

(:) Pour une étude plus complète du système de deux équations à Six variables, et les rapports de ce système avec le problème de Bäcklund, je renverrai le lecteur à un mémoire récent que j'ai publié dans les Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, t. X, (1918), pages 1-109.

2) E. vox Weser, Zur Invariantentheorie der Systeme Pfaffscher Gleichungen (Leips. Berichte, pp. 207-229, 1898). |