OO) 0, MOMIE ON NEO 0 RUES

et celles-là seulement. Si par exemple on a n—2r—"%, les r équations w',—0, .…, wr—0 ne renferment que 7 — q inconnues DTr4Ay +, OLorg, et elles admettent toujours une solution évidente Oxy11 = dari4, ..., dder-g — dsr-g; elles comprennent donc au plus r— q— 1 équations linéairement distinctes, quels que soient dxri4, ...; org, et par Suite s est au plus égal à r—q—1. | |

Pour qu’un élément (d%,11, ..…, dæ,)soit un élément singulier, il faut que les r équations w'’;—0o se réduisent à moins de s équations distinctes et par suite que tous les déterminants d'ordre s du tableau précédent soient nuls. On obtient ainsi un certain nombre d'équations, algébriques en dRr11, .…, dtn, qui déterminent les éléments singuliers, Il est évident que ces équations forment un système covariant du système $, . Soit a la forme auxiliaire Q = Lo, + ..+ lrur, OÙ À... Àn sont des fonctions arbitraires des variables x;. On a

Q/ => (uw, —— c.. — kw)! = Lo —- re + EE (mod. Dise..s Op).

La forme symbolique Lw’, +... + \w, où ne figurent que les différentielles dry, ..…, dÆn, Ô%r14, ...;e ÜXn, est de rang 29, lorsque les coefficients À; sont pris arbitrairement (n° 82). Cenombre pair 2p est, d’après F. Engel, le rang du système S (1); il est clair que c’est aussi un invariant du système S. Soit A(A,, X,, ..…, Àr) le

déterminant symétrique gauche attaché à cette forme symboli-

que à”; ce déterminant est de degré a — r par rapport aux };, et,

d’après la définition même du nombre p, il est de rang 2p, c'est àdire que les mineurs de l’ordre le plus élevé qui ne sont pas identiquement nuls, quels que soient À,, X,, ..., sont d'ordre 29. Supposons en particulier S— 7; nous avons deux cas à distinguer :.

(1) F. Exces, Leipzig Berichte. t. XLII (1890).

1 Supposons 2 —r—2p, Ce qui exige que n—r soit pair. Le déterminant A est le carré parfait d’une forme homogène de degré p en h; os, A Supposons que les valeurs non. toutes nulles Lu, …, Mr annulent ce déterminant. La forme correspondante |

F4 4 + U20 2 À À HrOr L DA est de rang 29— 29 —2q inférieur à 2p, et l’on peut la mettre

sous la forme

! ! : 6 MO y + .. + Ur r = 04109 + s. + Dog-102q (mod. OR AR ür); Di) Dos es og étant 27 formes de Pfaff distinctes. Tous les éléments linéaires intégraux qui satisfont aux 27 relations (37) mi — 0; Do — 0, …. D2q — 0

sont alors en involution avec tous les autres éléments linéaires

‘intégraux de S relativement à l'équation

non + + brp = O.

PES R équations 0e 0: ee w,—0o se réduisent donc à s—1 équations quand on y remplace dari1, .…, dan par des valeurs vérifiant les 2q relations (37). Par suite, les r + 2q équations

w, — 0; Mr = O; y — 0; 3 Dog — O

définissent une famille d'éléments singuliers. Le nombre total de

ces équations est au plus égalà r+202=n 2: A chaque

système de solutions non toutes nulles de l'équation A(X,,...,kr)= 0

correspond ainsi une famille d'éléments intégraux singuliers du

système de Pfaff.

20 Supposons que 20<n — 7’, Ce qui a toujours lieu si n—r est impair. Le déterminant AC, -…, X) est identiquement nul et la forme Àw', +. + ur est toujours de ranginférieur àn—r; quels que soient les coefficients À;, on a Ée

= pause : ;

10" + kpto r = Dim? He + Dog -102q» (mod. OPPRTES Op) où 2g L29Ln— r, et les n + 2q équations

D =D + Ur O0, . m0, +» Dog — 0

définissent une famille d’éléments singuliers.

7 0e ANS 4

* Eu & : R'y L N

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