CHAPITRE VI. — CLASSE D'UN SYSTÈME DE PFAFF

Il y aurait encore lieu de distinguer les éléments singuliers

d’après le nombre des dimensions de la multiplicité formée par les

éléments intégraux en involution avec un de ces éléments singuliers. |

Reprenons, par exemple, un système de deux équations à six variables (n° 70). Si les coefficients de ce système sont quelconques, les deux équations wi; = 0, w' — o sont distinctes, et le système est de caractère deux. % | |

La forme symbolique hw'; + 120, est de rang quatre ; le nombre p est égal à deux, et nous avons vu qu’il y a bien en général deux familles d'éléments singuliers. Mais il peut se faire que les deux équations | à ua = 0, .: do —=0 (mod. ,, w») se réduisent à une seule. Le système est alors de caractère un. Si l’on reprend l'interprétation géométrique du n° 70, on voit que la ligne droite joignant les deux points m, y, qui représentent déux éléments linéaires intégraux en involution appartient à un complexe linéaire. Si ce complexe linéaire n’est pas un complexe singulier, il n’y a ni éléments caractéristiques, nt éléments singuliers pour le système.

Nous verrons un peu plus loin (n° 73) que ce système admet alors

une combinaison intégrable, ce qu’il est d’ailleurs facile de démontrer directement (1). Si le complexe précédent se compose des droites qui

. rencontrent une droite fixe A, tous les points de cette droite représentent

des éléments caractéristiques ; il y a donc æ ? éléments caractéristiques

issus de chaque point de l’espace à six dimensions, et le système est.

de quatrième classe.

(‘) Annales de Toulouse (1918), p. 7.