CHAPITRE VII. =— SYSTÈMES DÉRIVÉS. PROBLÈME DE MONGE
écrit les équations de $S de façon que les r' équations du système dérivé soient w',=0, .:., w'" —0, on aura :
Wy=Vo =... —=Ur—=O (mod. w,, w,,..., &r).
Il est clair que ce système S' est le même pour tous les systèmes équivalents à S, et que c’est un covariant de $S relativement à tout changement de variables, Si les 7 formes Qi sont linéairement distinctes, 1l n’y a pas de système dérivé ; nous dirons que ce système S'est nul.
Lorsque le système S est complètement intégrable, le système S”" se confond avec S. Réciproquement, si S' se confond avec S, tout élémént intégral est un élément caractéristique, et le système est complètement intégrable. |
Soit S un système, non complètement intégrable, de r équations à r + 3 variables; les covariants bilinéaires s'expriment uniquement au moyen du binôme dx,1402%19 — dæ,190æx,14, et par suite le système dérivé se compose de r —1 éqüations. Il en est évidemment de même de tout système de r équations et de classe r + 2, puisqu'on peut le ramener à un système où ne figurent que r + 2 variables. La même propriété appartient à tout système de r équations, à un nombre quelconque de variables, admettant r—1 combinaisons intégrables distinctes, sans être complètement intégrable. Il est clair, en effet, qué si l’on prend pour Wj, Up, «es Wp—i Ces r — 1 combinaisons intégrables, on a w', = 0,
…, dr = 0 (mod. w,, w,, ..…., or), et le seul covariant bilinéaire qui ne soit pas nul est w.. Ces deux cas sont les seuls où le système dérivé contient une équation de moins que le système primitif (Voir n° 78).
Pour un système S de r équations à r + 3 variables, on verra de même que le système dérivé se compose en général de r — 3
équations.
En opérant de li même façon sur le nouveau système S', on obtient le système dérivé de S', qu’on représente par S”", et qu’on appelle le second dérivé de S ; S” a lui-même un système dérivé S"”, qui est le troisième dérivé de S, et ainsi de suite. En continuant ainsi, on finira par arriver à un système S() dont le système dérivé S(?-H) est nul, ou bien à un système S) qui est à lui-même son
propre dérivé, et à partir de SW) tous les systèmes suivants S(PT1), S(+2), ..., sont identiques à SP). Il est facile de trouver les systèmes S pour lesquels le fait se produira Si le système SE) est à lui-même son propre dérivé, ce système est complètement intégrable; s’il se compose de g équations, le système S admet donc g combinaisons intégrables distinctes. Inversement, si le système S admet g combinaisons intégrables distinctes, et g seulement, on peut supposer que Fe q premières équations de ce Done sont de
la forme
(2) w=dfi—0, ER üg = dfg = 0:
ilest clair que ces qg équations font partie de tous les systèmes dérivés successifs, et on finira par arriver à un système dérivé équivalent au système (2). Ceci donne un moyen, au moins théo-. ‘rique, de déduire du système S le système complètement intégrable d’ordre maximum contenu dansS.
Il est clair que tous les systèmes dérivés ete ts sont aussi des covariants de S, relativement à à tout conRerEss de variables.
Donne — AA ï système de trois équations de Pfaf à à sept variables PURES Léa
A gdy =0, :
| (S) w3 = dp — rdx — sdy —0, = dq—sdz — füy= 0,
auquel conduit l'intégration de l'équation aux dérivées partielles du
second ordre (3) EE R | t= f(x, y,2,P5q 373$). |
On a pour ce système | FR H1—=0 (mod. 1, W9;, &3),
et le système dérivé se réduit à la seule équation w', — 0. En effet a A ‘contient le terme drdæ, et w' le terme dsir, qui ne peuvent disparaître dans aucune combinaison }w's + uw';, en tenant compte du sys tème.S lui-même. On ne peut donc avoir
1w!a + pos = 0 : (mod. w4, 9,3)
sans avoir à la fois = u —0.
Le système de Pfaff S a donc un dre dérivé, composé d’une seule équation de classe cinq.
Inversement tout système de trois équations de Pfaif à à sept VCD
al
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Ua Î
et de classe sept, possédant cette propriété, peut être associé à une PA équation aux dérivées partielles du second ordre à deux variables indépendantes. Soient en effet
un système de trois équations de Pfaf à sept ‘variables, tel que l’on - ait |
L ONE É - (mod, (OZ 9; &3),
+ PB léquationw, — o étant de classe cinq. Supposons que l’on ait choisi. | les variables de façon que cette équation ait la forme canonique
“© — ds — pdx — qdy = 0;
de deux autres équations ws — 0, Wg = 0. do en outre de deux autres variables a et v. Pour que l'on ait
@'y =.0 je (mod. &4, 9, 3), Re
on voit aisément que le système des deux dernières équations w> — 0,
> w3 — 0 doit pouvoir être résolu par rapport à l’un des couples de diffé-
rentielles (dp,dq), {dp, dy), (dq, dx), (dx, dy). Comme on peut, à l’aide
d’une transformation de Legendre ou d'Ampère, permuter les variables x et P; yetgq, on peut supposer les deux dernières équations du
système mises sous la forme | ; ï | LA ns dn 22 (ade RU pan ne) | à PME
te (a\dæ + bidy —+ c\du + gidv =
MVAEh
+ Pour que wi — 0 soit une équation dérivée du système, il faut et il | L | suffit que A EL D ARS AR ER LLC
\ HE | di==D;;: RER TÉAOK: Ci — 0; F1 — 9; ete système est de la forme . Na 2?
SR A ME cd FOR | os dp—adx—bdy=0, st} 3 = bd — bidy=0, Û Pas CAE
a, b, bi étant des Paris de DAS Ps get dés deux dernières varia- |
- bles w et v. Ces trois fonctions sont donc liées par une relation Le. (LS HORS F(æ, Ys 2; PQ) a 0, bi) — 0; et le système de Pfaff précédent est associé NW | à l'équation aux dérivées partielles | ; LV STRIUESS
pers”
es | F(x, y, £,P; q; r, 0 0.
| | En À
Reprenons l'équation (3) ét le système correspondant $S. Soit z(®, 4)
une intégrale de cetté équation ; nous poserons pour abréger
Dig
PRE ag:
L'équation (3) et celles qu’on en déduit par des différentiations répétées permettent d'exprimer toutes les dérivées pix au moyen des dérivées pio, pu. En particulier les quatre dérivées partielles du troi-
+ sième ordre s'expriment au moyen de æ, y, £, p, Q, 8, l, Po Par.
Si l’on adjoint au système S le système des deux équations qui donnent dr, ds (5) Ç dr = pad? + pudy,
À ds = pad + pisdy,
on 4 un, système dé cinq équations de Pfaff à 9 variables, que l’on appelle le premier système prolongé de S. Si l’on ÿ joint ensuite les deux équations qui donnent dp30,.dpn, On a un nouveau système prolongé dé sept équations à onze variables et ainsi de suite. Le système SHYa pour premier dérivé le système S lui-même, et pour second dérivé l'équation w1 = 0. De même, le second système prolongé a pour premier système dérivé le Fe irue S + Ÿ, et ainsi de suite. |
73. Systèmes de caractère un. — Soit S un système de Pfaff de r équations dont le système dérivé S' se compose de r—1 équations. On peut supposer que ce système S' se compose des r— 1 équations De == Ce OU 10) de sorte que l’on a |
PSE, ee ES NUE (mod. «4, @+, ..., wr).
Le système S est évidemment dé caractère un, car la seule condition que doivent vérifier deux éléments linéaires RPRr pour être en involution est w’ #10.
Inversement, le système dérivé d'un Sutème de Pfaff de carac- tère un contient une équation de moins que le système lui-même. Supposons que les équations du système S puissent être réso-
lues par He à dx. Es (où à — n — nie on pSbl écrire
AITTEE alors
= di Aink(dThÔTr — dtrôTR) (mod. &,,:..,&»),.,, h, A.
FR TN p); MNT Re NN):
Lai Se de ed dé dés di Gé
mets
les coefficients m; ne dépendant que des variables, Cette dernière 1
