CHAPITRE VII. — SYSTÈMES DÉRIVÉS. PROBLÈME DE MONGE

2 puisque les formes 7,, w,, ..., w. sont linéairement distinctes | (n° 24).

Tous les éléments linéaires intégraux qui satisfont en outre aux à deux relations # F,—= 0, 4, —0 sont donc en involution avec tous les

| . Pour que la conclusion soit en défaut, il faut que la forme x, | ___ soit nulle. Le système S peut alors être de classe quelconque, mais * le raisonnement prouve que si S est de classe supérieure à r + 2,

1 autres éléments linéaires intégraux, et le système S est de classe | |

| on a r,—0, c'est-à-dire w', = 0 (mod. Bars wr). On démontre- . Le rait de même que l’on a, dans ce cas, - É. Re

W', = 0, . .., due D (mod. Uo; ..., Op). i

Le Le système dérivé formé des r — 1 équations

W, — 0, W3 —0O, ... Wp —= O

est donc complètement intégrable.

Remarque. — Si le système dérivé S' d’un système S de r équations comprend 7’ équations distinctes, le caractère de S est au plus | égal à r — r', car les r —r' équations qui expriment que deux élémentslinéaires intégraux sont en involution ne sont pas nécessairement distinctes. Il revient évidemment au même de dire que, pour un système de r équations et de caractère $, le nombre des équations du système dérivé est au plus égal à r —s. Mais il peut lui être $ inférieur. Prenons par exemple un système $S de r équations et de classe r +3; pour la question qui nous occupe, nous pouvons supposer que les équations ne renferment que r + 3 variables, et

qu'on les a résolues par rapport à dx,, .…, dx;+3. On a alors

w/; v'AMdr EE de Be) +B(dx èr,;,—dr x.) +O(dx,)x,—dx,dæ;), : k | (= 1,2, .., r),

Der et le système dérivé se compose en général de r—3 équations. Cependant le caractère du système est égal à deux, car les r équations w;— 0 admettent toujours la solution évidente 5x, — dx,, dt, = dx, dx, — dx. Ce cas est le seul où le système dérivé d’un

système de r équations et de caractère deux contient moins de r — 2 équations (1). | HE

D'une façon générale, si le système S contient r sun et le système dérivé r' équations, le caractère du système est inférieur à r — r! lorsque la classe est égale ou inférieure à 27 —r".

74. Transformations de contact prolongées. — Soient | (Bi: Lefle,gie rh el Pre QE

des formules définissant une Don To de contact, pour les- HE on a identiquement (

(5) .. dZ—Pax — OdY — pue — pdx = — 2

p étant une fonction de x, y,£, p, g. Les conditions du n° 51.

[X, Y]=— 0, [X, Q]— 0, D',P] RN [P,Q1 ae (BX=e (OYI=e |

peuvent s'écrire encore.

(ad)oi + (C)oi == 0; (ad)o2 + (OC) — 0, $ (6) (ad),s + (bchi3— 0, | (ab): + (bc); — 0, e at (ad)oz + (bc) —=(adhe + (bc = p;

() Voir le Mémoire cité FA M. E. Carraw, Sur l'intégration de certains systèmes de Pfaff de caractère deux (Bulletin de la Société Mathématique de France, t. XXIX, 1901, pp. 233-302). Il étudie en particulier certains systèmes qu’il appelle singuliers, formés par des systèmes de r équations qui comprennent r —1 équations formant un système partiel de caractère un, et’ des systèmes qui admettent r» — 2 combinaisons intégrables distinetes,

2 La Lie à ras Da au A ty af & 13 L DERNE *