CHAPITRE VII. — SYSTÈMES DÉRIVÉS. PROBLÈME DE MONGE

en posant

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(adj = aid; — ajdi, (bchij = bic; — bjci, LOTS 2, 3).

Lorsque l'élément (x, y, £, p, q) décrit une multiplicité M: ayant pour support ponctuel une surface a, l'élément (X, Y, Z,

P, Q) décrit aussi une multiplicité OR, et nous supposerons que

cette multiplicité a pour support ponctuel une autre surface X.

Soient 2 — f(x, y) l'équation de la surface 9, et Z—F(X, Y)

l'équation de la surface Z. Les lettres 7, 5,4, R, S, T ayant la signification habituelle, proposons-nous de calculer R, S, T au moyen de æ, y, £,p, q, r, $,t. On les déduit des deux relations

AP = RAX + SdY, —” 40 = S4X + TdY, qui deviennent, en développant les différentielles dX, HAE db, dQ,

remplaçant ds, dp, dg par pdx + qdy, rdx + sdy, sdx + tdy

respectivement, et employant la notation convenue pour les dérivées partielles des fonctions X, Y, P,Q,

a,dx + b,dy + d,(rdx + sdy) + c;(sdx + tdx)

=R{ade + bdy +di(rdx + sdy) + c(sdæ +tdy)] +S[adx+ b,dy + d(rdx + sdy) + c(sdx +tdy)],

a,dx + b,dy + di(rdx +sdy)+ cA(sdx + tdy)

—S[a,dx + b,dy + d{rdx + sdy)+ c(sdx + tdy)] | + T{a,dx + bdy + di(rdx +sdy)+ c(sdx + tdy)]. En égalant les coefficients de dx et de dy dans la première

À é + Te : 4: * ppt JM de A2 le Lever SANS à hy \\E x dirais. 25! Êr 4 1 3 CRe NE De 0 2e LES D | SE ESS D NE 54 < CERCLE FA 4, je re LE er 20 0 "#0 4 OT Tr “ Aie Rd Led “ Gi = Le 4 Dent hs CN x , a ER OPEN EE

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équation, on a un système de deux équations HÉS TOR en R et pe. d’où l’on tire | (8)R— (ab}s1 + (db}sir + (ac)s1t + [(adi1 + (cb]s + tde)au(ré 5?) (ao + (db )oir + (ac)oit + (ad )o1 + (cb)o1]s + (dcoi(ré FT (9) QE (ab)03 + (db)osr + (ac)ost + [(ad)os + (cb)os]s + (de)ou(rt — s?) (ab )o1 + (db)oir + (ac)oit + [(ad)o + (ch)o1]S + (de)oi(ré — 2)"

De la deuxième équation on tire de même

(gb) & — (ab)a + (abar + {ac)ait + [(ad)a + (ch)}a1 |s + ane LS"). (ab)o1 + (d6)o1r + (aC)oit + L(ad)os + (cb)oils + (dc)oi(ré — s?} (gter) T — (ab)o2 + (db)gar + (ac)oat LL ['ad) 02 + (CO )o2]s + (deoatrt = EE ù (@b)o1 + (db)o1r + (acoit + [(ad)o1 + (Cb)o1]s + (de)ou(ré — s?) Les valeurs de .S fournies par les relations (9) et (g brs) sont . identiques en tenant compte des conditions (6) et.(7). | | Les formules (4), (8), (9), (9f”) définissent une transformation de contact prolongée, la transformation de contact proprement dite étant définie par les formules (4). En passant aux dérivées du troisième ordre, puis du quatrième ordre, etc., on aurait une suite indéfinie de transformations prolongées de je première, pourvu que la suite des dérivées des fonctions X, Y, P, Q, Z soit illimitée. HURE Bornons-nous à la première transformation de contact prolongée, définie par les formules (4), (8), (9), (fe). D’après la façon même dont les expressions de R, S, Tont été déduites des fonctions X, Y, Z, P, ©, cette transformation remplace le système de Pfaff formé des trois équations

| LL Ne (10) , w— dp — rdx — sdy =0, w; —= dq —sdx — {dy —o, par un système de Pfaff de même forme RATE PAR Le DU Cp:

(NE Q2— dP — RAX — SaY — 0, Q3 — dQ — SdX -- TAY — 0.

En, d’autres termes, le système de Pfaff (11) est un invariant, relativement à toute transformation de contact prolongée,

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