CHAPITRE VII. — SYSTÈMES DÉRIVÉS. PROBLÈME DE MONGE

Inversement, {oute transformation (2) X=F(x,y,2,p,q,r,81), ..., T= FA(e, ÿr2PrQ; 7385) 4 pour laquelle le système de Pfaf à) est invariant, est une ( transformation de contact prolongée. | | : En effet, si la transformation (12) remplace le système de «#8 Pfaff (10) par le système (11), on peut dire que les équations (10) | À: et (11) représentent le même système de Pfaff écrit avec des varia- hi bles différentes. Le système dérivé de (11) doit être remplacé par. # le système dérivé de (10) quand on effectue sur ce système (11) le Re changement de variables défini par les formules (12). Or le sys- | | tème dérivé du système (11) se réduit à la seule équation @ —=0; ter Fa on a en effet

0', — AXSR — dROX + dYIS—dSFY, 2

— dX0S — dSIX + dYIT—dTIY, | | et on ne peut avoir évidemment ; ‘4 [ à RE 0 “KL LQ!, HALO, = (mod. oO: Q,, Q.), :

que si l’on a XL —X, —0o. Pour les mêmes raisons, le système .. dérivé du système (10) se compose de la première équation de ce F0 : système. L'équation w,—0 doit donc être un invariant relative- | FE ment à la transformation considérée, et l’on doit avoir identique- | 11 menñt | AR ke à (13) dZ — PdX — QdY —=p(dz — pdx — qdy), | Ru. ke

quand on remplace X, Y, Z, P,Q par leurs expressions tirées bg | mn. des formules (12). Ceci ne peut avoir lieu que si X, Y, Z, P,Q RES sont indépendants de r, s, {. Il suffit en effet de se reporter à | Le la méthode même qui permet d’obtenir toutes les transformations À

de contact. L’équation (13) prouve qu'il existe au moins une FA relation entre x, y, £, X, Y, Z, indépendante des autres variables | Ne 1 LR RSS A MC TR DUO à DEDI Pérfe j RL Ste par nee qu'il n’en | 200 existe qu’une, | 5 %

F(x,y,£, X,Y,Z)—0. : Lu

La relation (13) ne doit pas être distincte de dF — 0, ce qui per- “te ne met d’avoir les expressions de MAVAZEE Q. en fonction de æ,y, +5 G. Prob. 20 | | Fr

(15), X= Fi(x, Un E Ps 3 PS5 ls Psos Par Par 4)

z, p, get les cinq premières des formules (12) définissent une transformation de contact. |

La transformation (12) est frodnant identique à la transformation prolongée, puisque les relations,

dP—=RaX + SdY, dQ —$Sax + TdY doivent être des conséquences des relations ds = pdx + qdy, ‘ dp=rdx + sdy, lg sdy + tdy,

ce qui détermine R, S, T en fonction de x, 4, £, p, VÉRRLTR L Le raisonnement peut être généralisé. Supposons que lesystème de 6 équations de Pfaff à 12 variables

dz — pdx — gdy —0; ap ring = | | | PR re

dr — psodz — pady=0, ds—padx—pisdy —0, RL Pr Pix — Post Fr

soit invariant par un changement de variables

ir Tele

- Le premier système dérivé du système (x4) est formé des trois premières équations de ce système, comme on le voit facilement. Le second système dérivé est formé de la seule équation ds — pdx — qdy — 0. Cette équation devant être invariante par la transformation (15), il s'ensuit que les cinq premières formules (15) définissent une transformation de contact, et, en raisonnant comme tout à l’heure, on en conclut que les huit premières formules (15), définissent la première transformation prolongée de cette transformation de contact, puis que les formules (15), prises dans leurensemble, définissent la transformation de contact prolongée jusqu'aux dérivées du troisième ordre. Le raisonnement est évidemment général |

Ce résultat peut s’énoncer géométriquement comme il suit : Les seules transformations de l’espace qui changent deux surfaces ayant un contact d'ordre supérieur au premier en deux surfaces ayant un contact du même ordre sont les transforma-