Systèmes de Pfaff à quatre variables. — Tout système
de trois équations de Pfaff à quatre variables est un système
d'équations différentielles ordinaires. Prenons un système de deux
équations à quatre variables
(S) D, A Re Dr w,=—=B,dz; + Bd, + B;dx; + B,dx, —
Si ce système n'est pas complètement ee le système
dérivé S' se compose d’une seule équation 0,—=v, + Lu, —0, qui peut être de classe trois ou de classe un (n° 72).
1° Prenons d’abord le cas général où l'équation 0, —0 est de classe trois. On peut alors choisir un système de variables(y,, y, Y3» Y1) de façon à ramener l’équation G,= 0 à la forme canonique dy; — ysdy, — 0. Le systèmé S est remplacé par un système
formé de l'équation précédente et d’une autre équation où Fon:
peut supposer que dy, ne figure pas :
Qi = dy —ysdyi= 0, 9, = H,dy, + H;dy; ie L'équation :
9, = dyÿyi — Sysdyi = 0 (!} Le théorème est: vrai aussi lorsque chacune des deux surfaces est assu-
jettie à être une surface intégrale d’une équation aux dérivées partielles dont l'ordre est égal à celui de contact, |
LR: tar Mn né Ed a rs tes HE ÈR Se de | a = L d æ %
doit être une conséquence des deux relations H,dya + H,dy, + Hidyi=—0, H,9y, + H30y3 + H9y4— 0; ce qui ne peut avoir lieu si H, et H, sont nuls. Supposons H, # 0; nous pouvons même le supposer égal à — 1, ce qui donne | dy=Hidy + H,dys, 0Y3— Hidy: + H,97;; et la relation Q',— o devient ; | H,(dy8y — dysdyi)— 9; d’où l’on déduit que H, est nul. Quant au coefficient H,, il dépend
nécessairement de la variable y, ; autrement les deux équations
dy = Ysdy | dy3= H,dy,
forméeraient un système complètement intégrable. On peut donc
prendre ce coefficient H, pour la variable y, et, par conséquent,
dans le cas général considéré, le système S peut être ramené à la ù - . ' 5 \ \
forme canonique (*) (HUE dy» —ysdy=0, dys— Yadyi 0; Yi Yas Ya Ja étant quatre fonctions indépendantes des variables x,, Lo, Las Lg ; Mr
2° Supposons que l'équation Q, —0 qui forme le système dérivé 3 , £ j ‘ 15 . ! dr PA LUE, soit de classe un; on peut alors l'écrire dy; —=0, y: étant une fonction des variables x,, &,, 3, x. En prenant pour nouvelles
variables y,, L:, 3, & par exemple, le système S est remplacé
par un nouveau système du= o, H,dæ, + H,dx; + Hd, — 0:
La dernière équation de ce système, où l'on regarde y, comme un. paramètre, n'étant pas complètement intégrable, peut être mise sous la forme REPAS | | | dy; ydye + Kdy,= 0 par un changement de variables portant sur les variables x, ÉNTL (t) Encec, Zur Invariantentheorie der Systeme Pfaff'scher Gleichungen (Leipsig Berichte, t. XLI, p. 197-176). Voir aussi E. Carran, Sur.quelques quadratures
dont l'élément différentiel contient des fonctions arbitraires (Bulletin de la Société Mathématique de France, t. XXIX, 1907, p. 118-130). .
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CHAPITRE VII. — SYSTÈMES DÉRIVÉS. PROBLÈME DE MONGE. 309 (n° 9). Le système S peut donc être ramené à la forme canonique | (EP dy 0, dys—yidy:—0.
Enfin, si le système S est CRAN niCaEnne il admet la forme canonique
(II) : An Re ot POSE.
En définitive, tout système de Pfaff de deux équations à
quatre variables peut être ramené à l’une des formes canoniques (1), (I), (LD. |
La forme canonique (1) convient au cas général où le système S.
n’admet aucune combinaison intégrable, la forme (II) au cas où il,
existe une combinaison intégrable, et la forme (III) au cas où le système est complètement intégrable. La démonstration précédente fait connaître en même temps quelles sont les opérations nécessaires pour effectuer la réduction. Ainsi, dans le premier cas, on a à effectuer l'opération 3, pour ramener une équation de Het de classe 3 à une forme canonique.
Le système S étant ramené à une forme canonique, il est facile | d'obtenir toutes les multiplicités intégrales. Laissant de côté le cas de la forme (III), où la solution èst évidente, nous voyons d’abord que les systèmes ([) et (IT) n ont que des intégrales à une dimension, dont il est aisé d’avoir les équations générales. Dans le cas de la forme (I, lines générale est représentée par les formules
(16) Hi=% Y=ft) y=f CG) y,=f"(C); : f{(a) étant une fonction arbitraire, et il existe en outre des intégrales singulières dépendant de trois constantes arbitraires,
(17) Yi = Gr Ja = Ca ÿe= Ce
L'intégrale générale du système (II) est de même représentée par les formules | GS) pn=Gw pe y=fC) y=/f()
et il y a en outre des intégrales singulières, dépendant de trois
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constantes arbitraires, représentées par les mêmes formules (17) que l’on vient d'écrire. On voit que, dans tous les cas, les multiplicités nes à une dimension d’un système de deux équations de Pfaff à quatre variables, non complètement intégrable, peuvent être représentées explicitement par des formules où figurent une fonction arbitraire et ses dérivées jusqu’au second ordre au plus, ou des constantes arbitraires en nombre fini, ou à la fois une fonction et une constante arbitraires.
Ha D AR Pr Ant de Monge (Leçons, n° 42) est.
un cas particulier du problème précédent. Soit à trouver tous les systèmes de trois fonctions æ,. y, z d’une variable vérifiant la relation F(x, y, 2; dx, dy, ds) —0, dont le premier membre est
homogène en dx, dy, ds. Supposons cette équation résolue par
dz rapport à ——
hs | dz dy Land)
: se d 7e | si le second membre est linéaire en du on est ramené à trouver \ L
toutes les intégrales d’une équation de Pfaff à trois variables
dz = Adzx + Bdy. Dans le cas général, en posant a = u, on est
ramené à trouver toutes les intégrales d’un système de deux équations de Pfaff à quatre variables x, y, £,u,
w,— dy —udx —0, rie y,#ü dre
Nous avons ici
w',— duÿx— dudx, w',— 2f dudx — dudx 8 et, par suite, l'équation dérivée du système est
Q—d5— fdx — 22 (ay uda)=ds — XL dy — ie es et le problème revient à ramener cette équation de Pfaff à une forme canonique, réduction qui exige, on l’a vu (n° 12), les mêmes opérations que l'intégration d’une équation aux dérivées partielles du premier ordre. La solution générale est fournie par les courbes
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