CHAPITRE VII. — SYSTÈMES DÉRIVÉS. PROBLÈME DE MONGE

intégrales d’une équation aux dérivées partielles ; la solution singulière, qui dépend de trois constantes arbitraires, correspond aux caractéristiques.

20 Considérons l’équation à deux fonctions inconnues y et £

de dy dy), mA (as, joss Ta B (x, ÿ ik

en posant —u, l'équation devient

PA (x, U,£; DE - +BG@, y,£,U),

et l’on est encore conduit à un système de deux équations de Pfaff à quatre variables,

dy—udxz=0o, ds— A(x, y,z,u)du—B(x, y,s,u)dæ=—0o.

De même, étant données deux fonctions f(x,y), o(x,y), pour obtenir des fonctions æ, y d'une variable, telles que les deux

intégrales fre UE, f@ 1), ou les deux intégrales

[rte y)dæx, fe (x, y) dy, puissent s'exprimer explicitement,

il faut trouver sous forme explicite toutes les solutions de l’un des systèmes de Pfaff à quatre variables, æ, y, u, v,

(S;) du—f(æ,y)dxæ—0o, dv—vo(x, y)dæ —0, (S3) du—f(x,;y)dxæ—0, dv—v(x, y)dy = 0.

Remarque. — Les raisonnements de ce paragraphe peuvent être

généralisés. Soit 61 =0, w2—0 un système de deux équations de Pfaff à un nombre quelconque de variables, telles que le système dérivé se compose de la seule équation w1 = 0. Si cette équation est complètement intégrable, la seconde équation du système «2 —0 peut être de classe quelconque plus grande que un. Si l'équation «4 — 0 n’est pas complètement intégrable, on ie la supposer mise sous forme canonique O4 = dya— ys dy —U = 0, :

Q, étant une forme de Pfaff de classe paire (si elle n’est pas nulle), où ne figurent pas les variables 74, ys, ya, ni leurs différentielles. Par hypothèse, on a

où = dy0ys — dysdyi — = (mod. 4, cs),

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312 LEÇONS SUR du PROBLÈME DE PFAFF.

ce qui exige que dys figure dans wo. On peut donc écrire cette

équation

O9 — dy Ne is Qo,

Q2 étant une autre forme de Pfaff, où ne figurent pas les différen- : tielles dy1, dy», dys. On doit donc avoir

d'ya (Aidyi + Qa(d)) — dyr (A1dy1 + Qa(d)) + D = dy (d) — dyiQa(d) + 4 —o,

quelles que soient les différentielles dys, dy ; il faut donc que l’on ait

et par suite que la forme 9, soit nulle, puisqu'elle est de classe paire. Le coefficient A; ne dépend pas seulement de y, ya, ys, car le système serait alors de classe deux, et coïnciderait avec son dérivé. On peut donc Es A1 pour une nouvelle variable y,, et le système est ramené à la forme (I).

76. Systèmes de Pfaff à cinq variables. — Nous étudierons encore les systèmes de deux et de trois équations de Pfaff à cinq variables. Etant donné un système S: de deux équations de Pfaff à cinq variables x, &,, …, æ,, on a vu déjà (n° 67) Je, l’on a des relations

er (dxa923 — RSA) se A2(dxs30% — - LL) + As es — dx20%1), 2—= = B: (dxsdxs — dd») + B: (dæsdx en dti0@3) + B: (dxidæ - ee Ps a)s

(mod. (OYE &9)

pourvu que les deux équations w,— 0, w, —0 puissent être résolues par rapport à dx,, dx. Les relations w',—%w',—0 expriment que la droite qui joint les deux points m et y, de coordonnées (dx, dæ,, dæx;) et (dx, 9x, dx) doit passer par les deux points P, et P; de coordonnées (A,, A2, À.) et(B,, B,, B.), pour que les éléments linéaires intégraux (dx,, dæ,, dx.) et (9x,, 0x;, dx) soient en involution. Si les deux points P, et P, sont distincts, ce qui est le cas général, il n’y a pas d'élément caractéristique, et tout point m qui n’est pas situé sur la droite P,P, représente un élément linéaire intégral qui n’est en involution avec aucun autre élément linéaire intégral. Mais il y a une infinité d'éléments singuliers représentés par tous les points de la droite P,P, ; deux points quel-