CHAPITRE VII. —. SYSTÈMES DÉRIVÉS. PROBLÈME DE MONGE. 913 de

conques de cette droite représentent toujours deux éléments en involution. |

Soit w,—0 l'équation de la droite P,P, ; deux éléments linéaires FA intégraux représentés par deux points quelconques de cette droite + ‘5 étant toujours en involution, on a nécessairement : |

WE 0304) ol = w,0:; (mod. w;, w,), è

et les cinq formes de Pfaff w,, w,, w,, w,, w, sont linéairement dise ec tinctes. Dans le cas contraire, en -effet, tout élément linéaire … | 17 vérifiant les cinq relations | ris | w, Se ee on te 0 | ve 15 serait un élément caractéristique, et le système ne serait pas de “ie classe cinq. | | Et Le:

Il peut encore se présenter deux cas. Si les trois équa- ; 4 tions w, — 0, w, — 0, w, —0 ne forment pas un système com- A ai plètement intégrable, le système S, formé par les deux équa- | 5 tions &, — 0, w,— 0 est le système dérivé du système S, formé 48 par les trois équations w, —0, 6, —0,0,—=0. | “a Il n’en est plus de même lorsque les trois équations w, — 0, Eu dy = 0, w, — 0 forment un système complètement intégrable. Le Le

système S, peut alors être ramené à une forme canonique spl,

APS ve AE ROUE

comme nous le verrons un peu plus loin.

Si les deux points P,, P, sont confondus, le système S, admet

des caractéristiques à une dimension; il est donc de classe quatre A et peut être ramené à une des formes canoniques (1), (IT). La forme 1 canonique (II) convient au cas où le système S, admet une com- LU ” £ : - $ : { j ! va KA binaison intégrable et une seule. Enfin, si l’on a identiquement ue. QE ee.

PRER M:

Wy= 0, Wa = 0, (mod. Oy» wo), ke

Ê A | à * F , X Je

le système $, est de classe deux, et peut être ramené à la forme rue canonique (III). 4 Lorsque le système S, est de classe cinq, on ne peut pas, en US général, le ramener à une forme canonique, mais on peut, d’une | DA infinité de manières, le ramener à une forme réduite où ne figure , . . e F » .. , SU À «= x + RS

qu’une fonction arbitraire. En effet, parmi les équations È | tn a? x "EX ne

er) ; AT \ + IE

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il y en a toujours uneinfinité de classe trois, car la condition pour qu’une équation de Pfaff à cinq variables

Q — a,dxs + adx, + ... + adt; =0

soit de classe trois est que le déterminant

(Di OS 4 MTS 0 4

soit nul (n° 7). En prenant pour Q la forme lo; + pw,, on est con- ? duit à une condition où figurent les deux fonctions X, y, et leurs dérivées partielles du premier ordre. Si par exemple, À figure dans cette condition, on pourra prendre y arbitrairement, et l’on a pour déterminer À une équation aux dérivées partielles du premier ordre.

On peut donc toujours supposer que l’équation w, = o est de ni. classe trois, et ramenée à une forme canonique. Le système proposé peut donc être écrit comme il suit, par un choix convenable des variables, LR |

er dy — Ysdyi —0, = Ydyi + Yidys + Yidys + Yidys 6;

les deux coefficients Y,, Y, ne peuvent être nuls à la fois, car le

système serait de quatrième classe. Soit K un facteur tel que De d'ongles He

oU oÙ KOV,dy + Ysdy:]= y dy + Us dy;

| oÙ aU oU TE Gr ue re bus Li es AU :

F5 | en prenant U pour la variable indépendante y,, la seconde équation du système peut s’écrire

) do dy; Udy, — Usdy; = 0,

l’un au moins des coefficients U,, U, dépendant de la variable y,. | Comme on peut permuter y; et y,, on peut supposer que U, dépend