CHAPITRE VII. — SYSTÈMES DÉRIVÉS. PROBLÈME DE MONGE. 915 LD

de y; et prendre U, pour cette variable. Le système S est donc ramené à la forme réduite |

ème

ar AN L«

AE

(NV) = dy; — y;dy 0, 0 = dy, — fdy,—y;dy; —0,

où figure une seule fonction indéterminée NE Uss Yss Yar Us) LS

Pa y à Ven SALUT - à

cinq variables.

Inversement, quelle que soit la fonction f, le système (IV) est de classe cinq. On a en effet

dy = ya dy, s | ta df of r vw, — = [(2 ne +2 L y.) dys + 7 dys | Re AL PU Rue “ La É Le 1e ds) dy dys | 0Us ns [ds me dy; dy | QUE - *e (mod, 6 cu), | PUIS NS

Tout élément caractéristique devrait donc satisfaire aux relations dy, =0, dy; —=0, dy;—0, et par suite aux relations dy: —dy,—0. On peut vérifier sur ces équations qu’il y a œ ! éléments intégraux Re

singuliers; en effet, pour que ces deux équations se réduisent à RS une seule, il faut et il suffit que l’on ait la nouvelle relation

; à He Rés Se — dy; 2 dy, = 0. 5

” Les éléments singuliers du système S, sont donc définis par le système $S, des trois équations w, — 0, 6, — 0, w, —0, ou par le système équivalent

2, — dy; — ysdyi — 0, | | : ; %— dy à (us 2 cr) dy, =; dy dy.

aan nn din = Gin dun (mod. a, Ge, Q,), #7 À e | 10 de sorte que le système S, est NI CE érable lorsque f æ mL

est une fonction linéaire de y, et dans ce cas seulement. Le sys- “À > Æ j aa

CPE

Sn ST EU NO TN

*} Wir + r L T'AS 4 vs VINS Dh >

tème S, peut alors être ramené à une forme canonique. Soient, en effet, 4

ES 00 Je = Co Ja GC

l'intégrale générale du systèmeS, ; les formules précédentes repré-

sentent une famille de multiplicités intégrales à deux dimensions du système ,S,, telle qu'il en passe une par chaque point de

Tespace. Si l’on a choisi un système de variables indépendantes

telles que y, —f,, y: —=f» sf il est clair que les différentielles dy,, dy,, dy, devront seules figurer dans les équations du système, qui peut Per conséquent être ramené à la forme canonique

(Jr EE rage pra 7e

Les intégrales à deux dimensions M, représentées par les équations / AU ; | Yi = CG Ye = Ca; Ys = Gs doivent être considérées comme des intégrales singulières du système, puisque tous les éléments intégraux dy, — 0 dy:—0, dy,;—0 sont des éléments singuliers.

En résumé, un système de deux équations de Pfaff de classe cinq peut être ramené à la forme réduite (IV) lorsque les trois

équations qui défi inissent les éléments singuliers ne forment pas

un système complètement intégrable, et à la forme canonique (NV); lorsque ces trois équations forment un système complètement intégrable. :

Dans le cas général, la réduction à la forme réduite (IV) est possible d’une infinité de façons, et la Ruuss f n’est jamais une fonction linéaire de TEA

Remarque. I. — Lorsque le système S; n’est pas complètement intégrable, il n’admet aucune combinaison intégrable. En effet, pour

que dF — o soit une combinaison des équations de és la fonction F°

doit satisfaire aux relations

*) 1e 2 PR NN CRE DAS (r- PAR SR 9Y4 s

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et par suite à la relation

of 2. 22 SRE Dyse Dys. L 273 dy, —