CHAPITRE VII. — SYSTÈMES DÉRIVÉS. PROBLÈME DE MONGE
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n’est pas nul, on a donc ERP + Ys Et = 0, et: par !
doF re suite, —— Æ — 0, puisque F ne Hépae pas de Ya. La seconde condY3 OA | dition devient alors | F 2F — + — y; = 0 CPRAE T0 vo, | .
dF 2,528 VS LEO Ni et donne LS même —— — —— = 0, la fonction F se réduit donc à une dy dy» R EN constante. ; Remarque 11. — Lost f n’est pas une fonction linéaire de y Ys on à = | Qi = O,,. (9 LES san = (0) on a, “ie 0).
Or, le système Q —0, & — y5Qs = 0 est adieu au système S2, de |
sorte que le système S2 est le système dérivé de LL PP ROME h
ET III. — Le système (IV) admet une. rit d'intégrales M, dépendant de deux fonctions arbitraires d’une variable, dont on peut avoir les équations générales sous forme explicite, Si l’on Fee en
effet, y —«, y2 = v (a), y, = Ÿ(«), on Vue à la première y; = +’ («), et
Ja deuxième déviént | -
Va) = 79" CE Fe (a) }; (a), Y5).
En la résolvant par rapport à ys, on aura une fonction déenniate
de «, w(x), w'(x), g'(x), Ÿ(x), Y'(x). Le système admet, en outre, une famille A Po M; dépendant de quatre constantes arbitraires :
= Gi ù p= C» Ya = C3, Ya = Co, |
et une famille dépendant de deux constantes et d’une fonction arbie.
traire :
pres ya = Ca, p=a Ya = Pa), ; Ys = p'(c).
Considérons maintenant un rte S, de trois équations de © Pfaff à cinq variables, non complètement intégrable. Ce système est de classe 5, et le système dérivé S', se compose, comme on l’a remarqué (n° 72), de deux équations distinctes. Mais le nouveau système S', peut être de classe 5, 4 ou 2. Nous nous occuperons d’abord des deux derniers cas. Si S', est de classe 2, il est com-
plètement intégrable, et peut être, par un changement de variables,
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ramené à la forme w, —dy,—=0, w,— dy,=—0.L'équationw,—0,
qu'il faut joindre aux précédentes pour avoir S,, est de classe 3
quand on y fait y, — CG, y, —C', et par suite le système S, peut
être mis sous forme canonique (VI) dyi=0, dy; =0,. dy —ysdÿs —0:
Lorsque $’, est de classe 4, il peut être, par un changement de variables, mis sous l’une des formes canoniques (1) ou (IT). Supposons d’ abord que S’, ait la forme canonique |
di dy, = 0 2 = dYs — Yade — 0;
et soit w; —0-la Ho équation du système S,, renfermant NE qua et dy;. Pour que S’; soit le dérivé de S;, on doit avoir
v',= dy y, — dy dy, = | (mod. w,) ; l'équation w,—0 doit donc renfermer . et on peut l'écrire dy; = Ady, + Bdy;.
La condition précédente APR done B(dyôy, — dy By;
et l’on en conclut que B—o. Le coefficient A ne peut être indé-
pendant de y;, car le système S, ne renfermerait alors que quatre : variables. On peut donc prendre ce coefficient A pour la variable y. elle-même, et le système S, est mis sous la forme canonique
(VII) | dy, =, dy = yidÿ dy = Y;dy.
On voit de la même façon que, si le système dérivé S’, peut être mis sous la forme canonique (D), le Sun Ss peut être mis sous la forme canonique
(VID dy =ysdys dys=yidys dys=ysdys.
On voit en même temps quelles sont les opérations nécessaires pour ramener 5, à l’une de ces formes canoniques. Par exemple, dans Le cas de la forme (VIII), on a à mettre sous forme canonique une. équation de Pfaff de classe 3.
Passons, enfin, au cas où S!, est de classe 5; le système S, est
dit alors un système normal. Ainsi qu’on l’a démontré un peu plus
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