CHAPITRE VII. —— SYSTÈMES DÉRIVÉS. PROBLÈME DE MONGE

haut, on peut choisir un système de variables y,, 2, Ys; Ya, y; de façon que le système S', ait la forme réduite (IV), ou la forme canonique (V). Supposons d’abord que S', ait la forme réduite (IV), et soit w,—0o l'équation qu’il faut adjoindre à $', pour avoir le système S,. On peut supposer que cette équation ne renferme que les différentielles dy,, dy;, dys. Pour que l’on ait |

w'—= dy,0y3 — dy;0y, =0 (mod. w.),

il faut évidemment que w, renferme dy,, et l'on peut prendre

w,—= dy; —Ady,—Bdys »

Il vient alors

oi B(dyôys — dyôy), et on doit avoir B—0o. En écrivant que l’on a aussi o', = 0 (mod. w,, w,, w.), on trouve qu'il faut prendre A=— ,et le système S, est de la forme (voir Remarque IT, page 317) OX) oc =dy pd, o=dy— fly ysdys=0,

| | = dya + SE dpi, |

4 2? *Q ! e. e « où 2 n'est pas nul. On peut écrire ce système sous une forme

plus simple en apparence; BL renfermant Y5s On peut prendre :

| 2Ys — . pour la variable y: elle-même, et en remplaçant dy, par son expression dans w,—0, on peut prendre, pour forme réduite du système S;, la forme suivante, (IX) Q—dy;—ydy;=0, A —dy;—yidy, —0, = dys —Fs -.,y5)dyi=0,

où l’on a permuté les variables y, et y.

Le système dérivé de ce système se compose de deux équations Q, — dy; —y;dy, 0, FF, p)

F | RUE ET ee dy + (is —F)dys =.0:

(QAR pri

: k : et ; Viet :

Si F était une fonction linéaire de y,, ce système dérivé serait

de classe quatre, et par suite le système S, pourrait être ramené à une des formes canoniques précédentes. On doit donc supposer que la fonction F n’est pas une fonction linéaire de y, pour que le système (IX') soit un système normal.

Lorsque le système dérivé S', est de classe cinq, il ne peut: être ramené à la forme canonique CV) En effet, le système

ds gd =, dy; yo

ne peut être le système dérivé d'un autre système de trois équa- . tions, et de même classe. L'équation w,— 0 qu’il faudrait adjoindre aux précédentes pour avoir ce nouveau système serait de la forme ‘ :

dy, =Yidy, + Ysdys,

et l’on voit immédiatement que l’on devrait avoir Y, —0, ŸY,—0, de sorte que le système cherché serait de classe trois. En résumé, tout système normal S, de trois équations de Pfaff à cinq variables peut être ramené à la forme réduite (IX'), où F n'est pas une fonction linéaire de y. Le système dérivé deS, peut être ramené à la forme réduite (IV), et inversement tout système de deux équations de Pfaff (IV;,où f n’est pas une fonction | linéaire de y, est le système dérivé d’un système normal de trois équations à cinq variables.

On voit de plus que tout système normal S, à cinq variables peut être ramené, d’une infinité de manières, à la forme (IX'), ou à la forme équivalente (IX). Il suffit pour cela de ramener d’abord le système dérivé, formé de deux équations de classe cinq, à la forme réduite (IV), ce qui est possible, on la vu, d’une infinité de manières. | LE | Ilest évident que l'on peut obtenir sous forme explicite toutes les intégrales M, d’un système canonique de lune des formes (VI), (VID), (VIH), mais cela n'est pas possible pour un système normal, comme on le démontrera plus loin (n° 78). Si l’on pose, dans les équations (IX, gray LOR on en tire ys—=% (a), Ji =S Re): et y; est déterminé par l'intégration du une équation différentielle du premier ordre,

dys=F e ea) PC) ?"(x), ys) de.