CHAPITRE VII. — SYSTÈMES DÉRIVÉS. PROBLÈME DE MONGE

Les systèmes $S, et S, de classe cinq ont été étudiés dans un important Mémoire déjà cité de M. Cartan (Annales Sc. de l'Ecole Normale Supérieure, 3e série, t. XXVIL, 1910, p. 10g- 192). En supposant F — y? dans les formules (IX”), on a un système de Pfaff

dyr = Ysdyur dys = Yady dys ya dy, qui admet un groupe de transformations à 14 paramètres.

Etant donné un système S: de deux équations de Pfaff de classe quatre à n variables (n>>4), la détermination des caractéristiques exigerait, d’après la méthode générale, les opérations 4, 3,2,1 L'étude

qui vient d’être faite permet de réduire beaucoup le nombre de ces

opérations. On peut d’abord, sans aucune intégration, déterminer l’équation de ce système qui constitue le système dérivé. Si cette équa- . tion est de classe érots, il suffira, pour déterminer les caractéristiques, de mettre cette équation sous une forme canonique, ce qui exige les opérations 3 et 1. Si l’équation qui forme le système dérivé est de classe un, on a d’abord à intégrer une équation aux différentielles totales complètement intégrable, puis à mettre sous forme canonique une équation de classe trois ; on a donc en tout à effectuer les opéra- HOnSEr ar :

Soit de même S2 un système de classe cinq à n variables (n > 5). Si les équations qui déterminent les éléments singuliers forment un système complètement intégrable, il suffira d'intégrer ce système (ce qui exige les opérations 3, 2, 1}, pour ramener le système à la forme canonique (V), et par suite pour avoir les caractéristiques. Si le système S2 n’est pas réductible à la forme (V), une opération 5 donne une intégrale particulière 7, du système caractéristique. En faisant y; —C, dy; = 0 dans les équations du système de Pfaff donné, on est conduit à un système de 4e classe, auquel on n appliquera la méthode qui vient d’être indiquée. |

Pour intégrer les équations HOME caractéristiques d’un système S;3 de trois équations de Pfaff de classe cinq à n variables (n>>5), on traitera le même problème pour le système dérivé S'2. Si S' est de classe quatre, on a vu que S3 pouvait être ramené à une forme canonique, dès que S'2 est lui-même ramené à une forme canonique. Si S' est de classe cinq, les HNOGEURES sont les mêmes pour les deux systèmes.