Système de r équations à r + 2 variables. — Consi

dérons enfin un système non complètement intégrable de r équa- G. Prob. ur

tions à r + 2 variables ; ce système est effectivement de classe r+ 2. Les équations de ce système étant supposées résolues par rapport aux r différentielles ou .… ,dxr, si on remplace dans les covariants bilinéaires w',, w',, ..., ü'r, les différentielles, dE, vi, dr, DLi5 ve.) Ôxr par leurs to e tirées des équations ellesmêmes, on a

oh =K;(drrôr ee dXr20XLr41), (mod. &w,,..:, Wr),

tous les coefficients K; n’étant pas nuls, car le système serait complètement intégrable. Supposons, par exemple, K,<o; on tire des relations précédentes

K: ! . s Wj———w,) =0 (mod. w,, &,, ..., ur), . K, et le système dérivé S’ se compose des r— 1 équations Ki. SE |

Nous supposerons dans la suite‘que l’on a écrit le système S sous une forme telle que le système dérivé S' se compose des r—1 premières équations de S, et que ces r— 1 équations sont

résolues par rapport à dx, dx,, ..., dxr 1, (S”) wo; = dxi —(Aidtr + B;d&r41 + Cidxr4a) = 0, = 1, 2, ... PL);

et que la dernière équation w, — 0 du système S est elle-même résolue par rapport à dx,

ùr = dE — (Hdxr41 + Kdtr42) — 0.

Si dans w/,, ..., w 1 on remplace dx, ..., dr1, DA, +, d Cr A par léurs expressions tirées des hote de S’, il restera seulement, dans ces covariants bilinéaires, les trois binomes

dLrd Lr41 == dar 18%, dLr0 Lr+9 — dXr4920Lr,

dLr+1 0) Cris dXr+20 Lr+1; ou les trois expressions bilinéaires (Voir p. 18)

Lo», dx], (or, darso], [dxr41, dtrpsl,