CHAPITRE VII. — SYSTÈMES DÉRIVÉS. PROBLÈME DE MONGE

et puisque w/; doit être nul en tenant compte de la dernière équation w, — o du système $, ilreste des identités de la forme

(19) uw; = Lilo, dxy44] + Milo, dærso], (mod.w,,...,wr 1)

TRES PC RNCS) ES D A ce qu'on peut aussi écrire (19) w'i—=[or, Lidtry4 + Midxærto], (mod. wi, w,,..., y 4).

Si le rapport des coefficients L;, M; n’est pas le même quel que soit z, les r — 1 équations w' —0o se réduisent à deux équations distinctes, et par suite le système S” dérivé de S' se compose de r — 3 équations seulement. C’est évidemment le cas général, qui se présente lorsque les coefficients du système S sont quelconques ; nous dirons avec M. Cartan que le système $ est alors un système normal. |

Lorsque le rapport des coefficients L;, M; est indépendant de 7, sans que tous ces coefficients soient nuls, les équations w;—0 se réduisent à une seule, et le système S" dérivé de S' se compose de r — 2 équations distinctes. Dans ce cas, le système dérivé S' est de classe r + 1. En effet, puisque toutes les formes

L;dxr1 “e Midxr49 ne diffèrent que par un facteur, on a Lidær+1 + Midtr+2 = pi (adtr14 + Pdxr4).

Il s'ensuit que tous les éléments linéaires intégraux du système S' qui satisfont aux deux relations

Gr 0, . adXrt1 + Pd&ri2 = 0

sont en involution avec tous les autres éléments linéaires intégraux du même système S’. Les équations qui définissent les éléments caractéristiques de S' sont au nombre de r +1,et par suite S' est bien de classe r + 1.

On peut donc supposer que l’on a choisi les variables x; de façon que les variables x,, ..., &r441 figurent seules dans les équations du système S', et par suite que tous les coefficients C; sont nuls. Dans les covariants w', quand on aura remplacé les différen-

nn,

edge

Noa

tielles dx,, ..., dXr 1, dd, ..., ÔXr 4 par leurs expressions tirées des équations de S' elles-mêmes, il ne figurera que le binome

: dxrdXrs1 — dXr419@&r qui devient, en tenant compte de l'équa-

tion wr — 0, me | K(9Xr41d%r+a re dCr+2dLr+1).

Pour que les équations hr 0P ss dr o forment le système dérivé de 5, il faut donc que le be K soit nul, et la dernière équation de S est de la forme

On == —— Pi HR de —= O0.

Le coefficient H: dépend nécessairement de la ne FN Me Pa Là autrement le système S serait de classe inférieure à 7 + 2, et par suite complètement intégrable. On peut donc prendre ce coefficient H pour la dernière variable z-+9, ce qui permet d’énoncer la proposition suivante : Lorsque le second dérivé S"deS se compose de r—2 équations, on peut chotsir les variables Re xr+2 de façon que les équations du Lie aient la forme suivante |

wo; — dti — (Aïdtr + B; re — 0 LES NC RE 1), Wp — dXr —- Lr+2dLr+1 = O0:

les coefficients. Ai, B; étant indépendants de x, +. Les r—1 premières équations forment le système dérivé S'. On

remarquera qu’il y a une correspondance univoque entre les inté-

grales de ces deux systèmes (1). À toute intégrale de S correspond

évidemment une intégrale de S'; inversement connaissant une intégrale M, de $, | = fi(o), +. Xrpi = fr4i(a), on obtiendra une intégrale M, de S en joignant aux équations précédentes l'équation | | à 2 Émeaer Fra fra ù te Nous dirons, avec M. Cartan, que le système de Pfaif S est un

prolongement du système S”.

(:) Nous laisserons de côté dans la suite les intégrales à deux dimensions

de S (s’il en existe), et nous ne nous pet” que des intégrales M..