CHAPITRE VII. — SYSTÈMES DÉRIVÉS. PROBLÈME DE MONGE

Lorsque tous les coefficients L;, M; des formules (19) sont nuls, le système S’ est complètement intégrable, et on peut choisir les . variables indépendantes x; de façon que les équations de S’ soient

D eo: sf nl Arai 0,

Si on ne laisse dans la dernière équation wr — 0 que les différentielles dxr, dxr+1, dtr+2, on a, en considérant æ,,æ,, ..., &r-1 comme des paramètres dans les coefficients, une forme de Pfaff à trois variables que l’on peut ramener à la forme canonique

Op —= AL» a Lr+9d%r+1 Sata

Nous avons examiné tous les cas qui peuvent se présenter relativement au système dérivé S'. Considérons maintenant un système S qui ne soit pas normal, et la suite des systèmes dérivés S', S”, ... Il'arrivera généralement qu’au bout d’un certain nombre d'opérations le nombre des équations diminuera de plus d’une unité quand on passera de l’un de ces systèmes au suivant.

Supposons que cela ait lieu pour la première fois pour le sys-

tème St—}#), de telle sorte que S' se compose de 7 — 1 équations, S” de r — 2 équations, ST -/#) de h équations, mais que S(—#+1) se compose de — 2 équations au plus, ce qui exige que l’on ait A1. Alors, d'après ce qui vient d’être démontré tout à

l’heure, S' sera de classe r +1, et par suite S” sera de classe r,

et ainsi de suite; la classe ira en s’abaissant d’une unité quand on passe d’un système au suivant jusqu’au système St—*—1) qui sera de classe À + 3 et se composera de À +1 équations. Le premier dérivé de S®—#-1), c'est-à-dire St" se composera de À équations, mais le second dérivé St—A+44) ne comprendra que h— 2 équations. Le système S(—4-1) est donc un système normal de h + 1 équations et de classe k + 3, dont le système S—4-2 est un prolongement. D’après ce que nous avons vu tout à l'heure, on peut prendre un système de variables tel que les équations de SF—hA-1) ne contiennent que les À + 3 variables x,, neo LS et leurs différentielles, la dernière équation du système St—h—?) étant

dXh+2 = Xh+41dXn+3.

Le système St-#-3) s'obtient en joignant aux équations de

Sr-h-?) une équation de plus où figure une variable de plus æ 45, et ori peut supposer que cette équation est de la forme AdXn+3 > Bdxn+4 in Cdxn+5 — 0. |

Un raisonnement tout pareil aux précédents prouve que l’on doit AE C —o, et l’on peut prendre le rapport = pour la variable 345, ce qui permet d'écrire la nouvelle équation |

dXn+3 = Lh+5dXn+4.

En continuant ainsi, on voit que l’on peut choisir les variables indépendantes x, ...,Xr+9, de telle sorte que les équations du système $ prennent la forme |

W,— 0, ...,-Wh14—=0,

dXh49 = LhyadCn+s, (21). dents = 2n+sd@n+as

dLr — Trier,

les À + 1 équations w, — 0, ..., wy441—0 étant celles d’un système normal Sr—-A-1) où figurent seulement les À +3 variables x,, Los -.. Cn+3. On voit encore que les intégrales à une dimension du système S et du système SÛ—A-1) se correspondent une à une d'une façon univoque ; de toute intégrale du système SP—A-1) on peut déduire par des différentiations une intégrale du système S. Nous dirons encore que le système S est un prolongement de Gtr—h—1), GES

Il peut se faire aussi qu’un système $S ne soit 71 un système normal, ni le prolongement d’un système normal. Pour qu’il en soit ainsi, il faut et il suffit que, st l’on forme la suite des systèmes S', S", S",..., dérivés de S, le nombre des équations diminue au plus d'une unilé quand on passe d'un système au suivant. Nous dirons pour abréger que tout système S, qui possède cette propriété, est un système spécial.

Deux cas peuvent encore se présenter. Il peut se faire que, quand on passe d’un système au suivant, le nombre des équations diminue toujours d’une unité jusqu’au système SV). Alors S' se