CHAPITRE VII. — SYSTÈMES DÉRIVÉS. PROBLÈME DE MONGE

compose de » — 1 équations et sa classe est-7 + 1; S" se compose de r — 2 équations et sa classe est r, ...; S—1) se compose d’une seule équation de classe 3, et le rième dérivé SÛ) est nul ainsi que tous les suivants. Il peut aussi arriver que, pour les premiers sys= tèmes dérivés, tout se passe comme dans le premier cas, mais qu'à partir du système S("—?) tous les systèmes dérivés successifs soient identiques à Sir). Le premier cas peut d’ailleurs être considéré comme un cas particulier du second, que l’on obtiendrait en sup- Le posant p — 0.

Nous allons démontrer que tous les systèmes spéciaux de réquations à r + 2 variables, pour lesquels le nombre p a la même L valeur, peuvent être ramenés à une même forme canonique. 4

La propriété a été déjà établie plus haut lorsque p—r — 1; le + système S' est alors complètement intégrable, et nous avons vu à que, par un choix convenable des variables indépendantes, on peut x écrire le système S | ?

(22) di, —=0,;::.;dyÿrna = 0,: dyriti= yrçodyr. 3

Supposons donc o < p «Tr — 1. Le système S{"—-?) se compose à à À alors de p équations distinctes formant un système complètement 7 intégrabie si p => 0, et ce système est nul si p—0. Les raisonne- eZ ments qui vont suivre s'appliquant à ce dernier cas, nous suppose- É TONS 0 D<T— 1. | 4

Le système S’ est de classe 7 + r, S" est de classe r.. À KE» St—p-1) est de classe P + 3, et enfin le système S(—-?P), qui est : :3 complètement intégrable est de classe p. Appliquons à ce sys- 5 tème Sr -P—1) de p + r'équations et de classe p + 3 la proposition | ne établie plus haut sur les systèmes S dont le système dérivé S' est 4 complètement intégrable. On peut, par un changement de varia- 2 bles convenable, mettre ce système St-?-1) sous la forme - - 2