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p = dypre = Yp+3 Yu 3

cette réduction exige d’abord l'intégration du système Stw-P, c’est-à-dire l'intégration d'un système complètement intégrable d'ordre p, puis la réduction d'une équation de Pfaff de classe trois à une forme canonique. |

Ces. opérations étant supposées effectuées, si l’on prend pour

NL ER ASC JS

variables nouvelles les p + 3 fonctions y,, ...,y,43 et r—p—1 des | anciennes variables Æp+1, ..., Æry9, par exemple, l'équation qu'il,

faut joindre au système (23) pour avoir le système précédent

St—n—2) peut être supposée mise sous la forme

Dp+2 — — Hdy,,: af Kdy,+3 + Q — 0, :

Q, Hat une forme qui ne pe que les différentielles ire et l'équation Ve — dyp430pr1 = 0 doit être une conséquence des deux Kéauons w, +(d) = == 10e Wp42(0) = 0:

Ceci exige évidemment in aucun des coefficients H, K ne soit

nul. On peut alors supposer K——1, et l’on doit avoir identiquement |

Re £5 a, US dpi (Hdypu + (41 = Fri ce qui exige que la forme Q, soit nulle, et l'équation w,,,—=01se réduit à dy,,3—Hdy,,,. Le coefficient H ne peut dépendre seulement de y, Yes ..., Ypys Car le système SÛ—?—?) serait alors complètement intégrable. On peut donc prendre ce coefficient H pour une des nouvelles variables y,,,, et de système S{ r-p—2) est ainsi ramené à la forme | (24) | OH 0 eo Us pre = Yp+3 Yo dYprs = Yp+adY pat

On peut répéter le même raisonnement pour trouver la nouvelle équation w,,3—0 qui, jointe aux équations (24), forme le système St—P-3), et ainsi de suite. En continuant de la sorte, on voit que tout. système spécial S de r équations à r + 2 variables peut être mis sous la forme canonique () | |

(25) ; dy, =0;:.; dy; =0, dyp2 = Yp+8dÿp44 +) dyrn = gradins.

Les seuls énvariants d'un système Spécial S, relativement à un changement de variables, sont donc l’ordre r de ce. système, et le

nombre p des combinaisons intégrables distinctes des équations de ce système.

- (JE. von WEBER, Berichte Ges. Leipzig, t. À CKEDA ES p. 207-220

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