CHAPITRE VII. — SYSTÈMES DÉRIVÉS. DÉPRRRNE DE MONGE

Tout système de deux équations à quatre variables, n nPeiaus aucune combinaison intégrable, est, comme on l’a vu directément (n°76), un système spécial pour lequel p = 0.

Exempze. — Considérons un système de r équations de la forme

oi = das + fi(Xr+2)dXr+1 = 0, o2 = dX3 + fAtr+2)dtr+1 — 0,

Op = d£r + fr(&r+2)dxr+1 20,

les coefficients de dær+1 ne dépendant que de la dernière variable ær19. Ecartons le cas banal où tous ces coefficients seraient constants ; nous pouvons supposer, par exemple, que fi(xr+2) n’est pas constant, et nous ne diminuons pas la‘généralité en supposant fi(ær+2) = ær+2

Le système dérivé S' est formé des r — 1 équations

c | dfi - ’ È La , dfi ‘ Diane = di dx Lp49 =" — )drr1=0 I oi Dr 2 On Le dXr me AE U Noa sr DEr+2 r+-1 — ;

li = >, 3, DL

Si l'on pose

Xe DrHfi, Xr41 = Li + LrHAEr49,

als EE dns À sara

Ë équation QE 0e peut s’écrire

afi Que aXi — un dXr11 = 0.

: Le système S'est donc un système de même forme que S, à (+1) variables X5, ..., Xr11, &ri2. Pour la même raison, si S' n’est pas complètement intégrable, S" sera un système de même forme à 7 variables, et ainsi de suite. Le système S est donc un système spécial.

78. Systèmes intégrables explicitement. — Un système S de r équations à r + 2 variables, non complètement intégrable, ne peut admettre d’intégrales à deux dimensions M, passant par un point quelconque de l’espace. On a vu (Leçons, p- 27) comment on peut déterminer de telles intégrales s’il en existe; nous n’y. reviendrons pas. -

Les intégrales M, du système dépendent d’une fonction arbi-

traire d’une variable; en effet, supposons les équations de $ réso-

lues par rapport à dx, das, ...,dær par exemple. Si l'on se donne æri9 = e(xr41), on est conduit à un système de r équations différentielles ordinaires pour déterminer æ,,æ,, ...,æ&r en fonction de Xr+1.

Remarquons encore que l’on No sans diminuer la généralité, supposer que dx-+2 ne figure pas dans les équations de S. IL suffit de choisir les variables x; de façon que les équations Éd É Tr po Lr44 — Cri1 représentent une famille de courbes intégrales, ce

‘qui, comme on l’a déjà remarqué à plusieurs reprises, est possible d’une infinité de manitres. Les équations étant résolues par rapport à Tliras dr LU au moins des coefficients de dxr+4 dépend de xy42, et en prenant ce coefficient pour la variable æ,+2 ellemême, le système S prend la forme

(26) dx, = Lr+2dÆr41 : TD A,A%r443 ele — ArdXr41.

Nous dirons que le système S est intégrable explicitement lorsque toutes les intégrales M, peuvent être représentées par un ou plusieurs systèmes de formules exprimant les variables x; par des fonctions déterminées d'un paramètre, d'une fonction arbitraire de ce paramètre et de ses dérivées jusqu'à celle d'un certain ordre, pouvant contenir aussi un nombre fini de constantes arbitraires