CHAPITRE VII. — SYSTÈMES DÉRIVÉS. PROBLÈME DE MONGE

Ypsi = Ypre = (), et on en déduit successivement y,,3=f"(«), ts Yre fe . On a donc une famille d’intégrales M, dépen-

dant de la fonction arbitraire f(x) et de p constantes arbitraires,

(29) di ire ie Co: Ypta = Er Ugo = f(&), | yes = fo) yree ST:

il existe une autre famille de multiplicités intégrales M, dépendant de r + 1 constantes arbitraires, |

(So) y Ci... Yp = Cp Yi Cp+1, ... ÿr1 = Cr.

En remplaçant y,,...,y»42 par les valeurs (29) dans les formules (28), on obtient bien une intégrale générale explicite pour S. Inversement, les systèmes spéciaux sont les seuls qui admettent une intégrale générale explicite de la forme (27). Il suffit de prouver qu’un système normal, ou tout système obtenu par le prologement d’un système normal, ne peut admettre une intégrale générale explicite de cette forme (‘). On peut même se borner à démontrer cette propriété pour un système normal, car si un système S obtenu par le prolongement d’un système normal admet une intégrale générale de cette forme, il est évident qu'il en sera de même du système normal dont S est le prolongement. Remarquons encore que les r + 2 fonctions +; des formules (27) doivent être distinctes ; dans le cas contraire, on en déduirait, en effet, une relation au moins entre les variables x;, et les for- . mules (27) ne pourraient représenter une intégrale passant par un point quelconque de l’espace, On a donc forcément p +q2>r. Sip + q=—=r, on voit immédiatement que le système $ est un système spécial, et dans ce cas les formules (28) définissent un changement de variables qui conduit du système S à un système admettant l'intégrale générale

Yi = Cas 2 ne Ces PEL Yp+2 —=f(a), Yp+3 —=f (a), ..., yr+e = fo),

c’est-à-dire au système canonique (25).

(t) Ce beau résultat est dû à M. Cartan, dont nous avons reproduit la démonstration (Bullelin de la Sociélé Mathématique, t. XLII, 1914, p. 12-48).

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