ET F

Il ne reste qu’à examiner le cas où l’on a p + q=m>r, cas que nous ne pouvons écarter a priori. Nous supposerons que la dérivée f9(«) figure dans l’une au moins des fonctions w; ; autrement on remplacerait g par un nombre inférieur. Si, dans les premiers membres w,, w,, ..., w, des équations de S, on fait la

substitution

(BTE Li — oi(ÿs Yes «Yan Uptin soda) UTP ASE.

la forme w; se change en une forme linéaire par rapport à dy, dys, ..., dy,,2, que l’on peut écrire (32); —=anQ, + an0; des Sa + im «= di matins + di ,m42dym+2;

en posant

(33) 0, =dy:, he Q, —= dy | O1 = dyy3 — Vo+sdp+as es = dymt — Ym+2dYp+1: Par hypothèse, les formules (31) définissent une intégrale du

système (S) quand on y remplace y1, ÿ:, .…, Y,42 Par un système d'intégrales du système auxiliaire 2 ir (Z) Qj — 0, ..… Q —= O, On+1 — O, ... An — 0:

Il faut donc que l’on ait @j,m41—0, di,m+2—0, et par Aite on é a des identités de la forme

(34) uw, — Ayy Qu d- As9Q + Less + AmQm; Op = AnQ + Ar + +... + ArmOm; quand on fait dans les formes w,, w2, ...,w} la substitution (31).

Les coefficients Gim, Am, . : .; Arm ne peuvent être nuls à la fois. En effet, si tous ces coefficients étaient nuls en même temps, à toute solution du système (2)

(2) or O, CC Op 0;

les formules (31) feraient correspondre une intégrale de S, quand on y remplacerait y,,,2 par une constante quelconque, et on serait

ramené à des formules analogues pour nes l'intégrale

ledit éd but ni dé à.