CHAPITRE VII. — SYSTÈMES DÉRIVÉS. PROBLÈME DE MONGE

È ; Th 2 - générale de S, où le nombre des constantes serait augmenté d’une 100 . unité et où q serait diminué d’une unité (1). 53 On peut toujours supposer que le système S’ dérivé de S est De. formé des r—1 équations | | É SOS , on — de m9 —= O, .., Het = O. Ÿ 00 On a alors “PE 5 * NS DD De =-0 wr1 = 0 (mod. w,, « or) 5600 er , x DEEE DRE PV] — . 4? D9 ve r}s PR. 4 et a forliort ES a Me :

! ! 2 r'= SNS . - U1=0, W,=0,...,0r1=0 (mod. Q,,Q,,...,0,,), | ÉCRIS Mais w', se réduit à GimQ'm — &im (0Yp+1dYme — VU m+2 TU p+1)» | 2 en tenant compte des équations 9, —0, ...,Q,,—0,et ne peut "5 A : - 2e A La s : : ES d être nul que si l’on à aim — 0. On verrait de même que l'on + Re . + 7 9m = 0, ..., Ar—1,m — 0, MAIS Grm ne peut être nul, puisque Q.. ne doit figurer dans les identités (34). ENS re ù LAS Le système S étant supposé écrit comme plus f haut, on a;d'après 5 ï la formule (19), | ne.

| ER = 5 lt 2 plis Ve 3 bi £ ge er la substitution (31), dxrs1 et dxr}9 se changent en deux 100 formes 1 linéaires ges l’on PS écrire SE a da CiQ, SD AIT en à Cp mr ce Cy sudys SE AUTRES à - Re. {1} On pourrait encore raisonner comme il suit, Si les este Rte À CE des formules (34) ne contenaient pas Q,,, les formules - HR Er JET pi (Ci, Go > Cps a, f(&),, PA AC Es 1)(ce) ), 8), e La | #5 | où « et B sont deux paramètres variables, représenteraient une famille d’inté- 2 grales de S, à deux dimensions, et il passerait évidemment une de ces inté- HS grales par un point arbitraire de l’espace, puisque les fonctions gi sont des a fonctions distinctes de leurs arguments. Le système $S serait donc complètement intégrable. *. TR Le même raisonnement prouve que les fonctions pi renferment l’une au ! LS moins des dérivées de Le (2) ; car si elles ne renfermaient que œet f(x), les LES formules : RU Lire Qi (Gi. CS Cr, 8 6) 4 Ÿ on représenteraient des intégrales à deux dimensions du système S DépenRnt | T'ES de » constantes arbitraires. ARR ‘ s FÈ à ra »

- Le C ' « M :

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et les relations (19) entraînent les nouvelles relations

(86) Vi L; [rm PRE URSS SE bis dYm+2l + M; [ArmQ ps Cadet 0 Cn+2 dYyn+sls (mod, G,, Q>, su Qu)

ou, en développant, W'; = rm (Re +- Mic 7 [dy re lYn+.

+ Qrm(Lid,, +2 1 Mic.) AUTRES AY +1] + Yn+2 [das dpi

(mod.-0,5#6%,) D'un autre côté, on a immédiatement, d'après les relations (34) Vi = Ai,m1Q'm1 = Ai,m1 [dym+1; dyp+1}, (mod, FD PRES TON CERN €

La comparaison de ces deux expressions de w'; montre que l'on

doit avoir Lid,,,s + Mic,ss — 0, (CEST AEREENT Si les deux coefficients b,,,,, c,,, ne sont pas nuls à la fois, le L; RQ ; : , rapport Fe est indépendant de &, et par suite (n° 77), le système S”

dérivé de S' contient r — 2 équations au moins. Le système S n'est donc pas un système normal.

On ne peut supposer que les coefficients b,,,,, c,,, sont nuls à la fois, car les expressions de dx,}1, dt,12 tirées des formules de transformations (31) ne contiendraient pas dy,,,.. Il en serait donc de même de dx, .…, dær d’après les équations du système $ et les identités (34), et par suite les fonctions 4; ne dépendraient pas de la dérivée f7(a). Re cg

79. Remarques diverses. — 10 Soit S un système de Pfaff à un nombre quelconque de variables, ne renfermant aucune équation de classe un. Si ce système contient un système spécial « de p équations (p.> 1), il est évident que le système dérivé S’ contiendra le système spécial ç' dérivé de 5. Inversement, si le système dérivé S' contient un système spécial 5’ de g équations (UE S contient un système spé-. cial o de g—+1 équations, dont 5’ est le système dérivé. Dans cet énoncé, une équation de classe trois est regardée comme formant un