CHAPITRE VII — SYSTÈMES DÉRIVÉS. PROBLÈME DE MONGE
système spécial, Supposons que gq équations de S' puissent être mises sous la forme
C9) dys=ysdyss dys =yidys, +, dyg+1 = yatadys,
Yi Y2s ...s Yg+2 Étant des variables indépendantes ; la relation dyg+20y1 — dydyg12 = 0 doit être une conséquence des équations de S qu’il faut joindre aux équations du système o’ pour avoir S. L’une au moins de ces relations doit contenir dyy19, et l’on peut supposer que dyg+2 n'entre que dans l’une d'elles, qui sera de la forme
dyg+2= Ady; + Q,
Q étant une forme de Pfaff qui ne contient aucune des différentielles dy, dy2, ..., dyg+2. W faudra donc que l’on ait
Add y1 —- Ad)dy: = 0
identiquement, et comme dy, ne figure pas dans Q, cette forme Q doit
être identiquement nulle. Si le coefficient À ne dépendait que des.
variables 71, ..., yg12, le système S contiendrait un système de g +1 équations à g + 2 variables, c’est-à-dire un système complètement intégrable, cas que nous avons écarté. Le coefficient A est donc indépendant de y,, .…, yg+2, et l’on peut le prendre pour une nouvelle varia-
ble y+3, de sorte que S contient le système spécial de 1 1 équations
dy: = ysdy1, :. — = yg+3dy:.
20 Le raisonnement peut évidemment être eee: Si le pième dérivé de S contient un système spécial de q équations, en remontant de proche en proche, on en conclut que S contient lui-même un système spécial de p + q équations.
30 Soit S un système normal de r équations à r + 2 variables, n’admettant - aucune combinaison intégrable, et dont le second système dérivé S"” est un système spécial de r — 3 équations. D’après la propriété générale qui vient d’être établie, le système S contient lui-même un système spécial de r — 1 équations .
dy2 = ysdy1, …., dyr = yr+4dy:, et la dernière équation peut être supposée de la forme Adyr+1 + Bdyr+2 + Cdyi — 0.
Le coefficient B doit être différent de zéro, car le système S serait lui-même un système spécial. On peut simplifier cette dernière équa-
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