TE

tion en remplaçant la dernière variable te per une intégrale Le d l'équation aux dérivées partielles | oU «fau

— À dyr44 54, 9Yr4e

et finalement le système S peut être ramené à une forme réduite (X) dy [= ysdyi; D ÉRAE ; dyr — yr+1dy1; “dyr+2 = Fdy;

où figure seulement une fonction arbitraire F des +2 variables yi, et qui est analogue à la forme réduite (IX') des systèmes de trois équations à cinq variables. |

Inversement, pour tout stone S de cette forme, il est évident que le second système dérivé S' contient le système spécial formé par les r — 5 premières équations de S. Pour que S soit un système normal, il faut

en outre que S’ soit de classe 7° + 2. Or S' se compose des 7 — 1 équa-

tions

“he = yadyss °.* Res — yrdyi; dyr + (F — yr Hi

rt ) dyidYr+A / :

Il est évident que ce système est de classe r + 2, à moins que la dernière équation ne renferme pas la variable yr+1, ce qui ne peut avoir lieu que si F est une fonction linéaire de yr+1. Le système (X) est donc un système normal lorsque F n’est pas une fonction linéaire de yr+1.

Les systèmes de cette-espèce sont les plus simples après les systèmes spéciaux. On peut obtenir toutes les intégrales M; par l'intégration d’une équation différentielle du premier ordre où figurent une fonction arbitraire de la variable indépendante et ses dérivées jusqu’à un ordre fini, En effet, si on pose, dans les équations (X}), y = @ yo = f(«), on en “e successivement ys = f'(a), ….,yr+1 = f(x), et yr+2 est donné par l'intégration de l'équation différentielle du premier ordre

dyr +2 = Fe Ja) Je) 00), yr+2)de.

4° Lorsque F est une fonction linéaire de Yr41, F = ayr+1 + 6, Le système dérivé S' se compose des r — 1 équations

dF SET

dy = ysdyis + dyr—1 = yrdyss dyr+2 = adyr Fe bdys»

et ce système est évidemment de classe » + 1, puisque yr+1 n’y figure

pas. D'ailleurs S est le prolongement de S', puisqu'on obtient S en joignant à S' l'équation dyr — yr+1dy1. Ce système S’ ne peut donc être un système spécial. Si r est supérieur à quatre, son second dérivé est encore un système spécial de r —/4 équations : ce système S' peut donc être ramené à la forme réduite (X), où r est remplacé par 7 — 1.

(XI) dys -=Æ ysdys,