CHAPITRE VII. — SYSTÈMES DÉRIVÉS. PROBLÈME DE MONGE

En continuant ainsi, on finira par être ramené à un système normal de la forme (X), dont le système $ est le prolongement.

50 Considérons, en particulier, un système normal de trois s équations à cinq variables,

dy3 = y4dy ss dys =F (y: Y25 Yas J4 ÿ5) dyr.

Si la fonction F ne renferme pas y;, on GES toutes les solutions au moyen des formules de

nes RES nESC n=S@ = f FC"

f\a) étant une fonction RUES | Il est aisé de trouver une condition nécessaire pour qu’un système

de trois équations de Pfaff à cinq variables puisse être ramené à la

forme (XI) où F ne contient pas 73. En effet, ce système ne change pas quand on change y; en y; + C, quelle que soit la constante C. Ce système admet donc un groupe de transformations à un paramètre. Il en est évidemment de même de tout système de Pfaff qui peut être ramené à la forme (XI) par un changement de variables. Inversement, soit S un système de trois équations de Pfafr : à cinq variables admettant un groupe de transformations à un paramètre. Si l’on fait un changement de FRERES de façon que les HHeQORE

finies du Broupa soient d

De N4 REA ph ie, PU EE CT Là =, La, L'a— Lg Le = Ty, Rs qu Ne

la variable x, ne devra figurer dans les équations du système que par

sa différentielle der. On peut donc écrire les équations de ce système É

sous la forme

du Dir Da = 0. des + ©3 = 0,

1, +, ws étant des formes de Pfaff ne renfermant que les quatre variables æ,, 2, æ3, 4 et leurs différentielles. Dans le cas général, ‘les deux équations wi = 0, w2—0 forment un système de quatrième classe qui peut être ramené à la forme canonique (I) par un changement de variables, et Île système proposé peut lui-même être ramené à ne forme à

(XI) dy2 = ysdys dys = pd dys = f (y: yes Ys Ys)dys + pdys

un peu plus générale que la forme (XI), et dont la solution s'obtient aussi par des quadratures. AN TENTE

Nous citerons comme exemple un système signalé par M. Cartan,

dys = ysdyss dys = yidys, dys = y#dy, qui admet un groupe de transformations à qualorse paramètres. G. Prob. ; | 13 22

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80. Problème de Monge (!). — Considérons un système de n — 1 relations entre n + 1 fonctions d’une variable &,,æ%;, ..…., æ,413

et leurs différentielles,

(37). Fe(aS dre es ty ir ee Eh) 0:

(Et 2 io mer Tr),

les fonctions F; étant homogènes en dx, …, dx,,,- Ges équations admettent une infinité de solutions dépendant d’une fonction arbitraire, car on peut se donner arbitrairement x, 4 — 16) par exemple, et il reste un système de n—1 équations différentielles * ordinaires pour déterminer x,, …, æ&, en fonction de x,. On peut remplacer ce système (37) par un système équivalent de n équa-

tions de Pfaff à n +2 variables. Supposons, en effet, le système

dæ3 d£n41 .

dæ: 2e dæi <

d£3 | | de li Li» ee. Ly+13 dx )

résolu par rapport à

dt,

(37) e . ‘ è e e Ê a : F d£n+1 714 dx:

ns (& ess Ln+19 oh

Le | 0 | ° 4 dx en introduisant une nouvelle variable u — -

, on est rameéné à 1 :

un système de Pfaff S de n équations à n + 2 variables, (338) | dx, —udx;—=0,

dT, — fit CU) AE OT dE, 44 — fn a1dT =—0,

qui peut être considéré comme le plus général de son espèce. Il y a donc équivalence complète entre le problème de Monge généralisé et l'intégration d’un système de Pfaff de l'espèce que nous venons d'étudier. Le problème de Monge admét une solution (t) Les systèmes les plus généraux d'équations de Monge ont été l’objet

d’un assez grand nombre de travaux. Voir J.-A.: Serrer, Journal de Math., zre série, tome XIII, p. 353, 1848 ; G. DARBOUX, Id., 2° série, tome XVIII, p. 236,

:873, et 4e série, tome III, p. 305, 1887 ; J. Hapamar», Annales de l'Ecole Normale, série 3, tome XVIII, p. 337, 1907 ; E. Gounrsar, Bulletin de la Société

Mathématique, tome XXXIII, p. 201, 1909 ; P. ZERvos, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, tome CXL, p. 1013, tome CXL VI, p. 1080, Journal . de Grelle, tome CXLIII, p. 300 ; D. HiLBErT, Festschrift Heinrich Weber,

pp. 190-1406.

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