SYSTÈMES DÉRIVÉS. PROBLÈME DE MONGE
explicite lorsque le système de Pfaff correspondant est un ne tème spécial, et dans ce cas seulement.
On peut aussi considérer des systèmes de n— 1 équations < où figurent les dérivées jusqu’à un ordre quelconque de n des fonctions inconnues æ; par rapport à la dernière, car il suffit de prendre pour nouvelles inconnues un certain nombre de ces dérivées pour être ramené à un système de la forme (37).
Considérons par exemple une équation | | | (39) En LE Vo nn où yet £ sont deux fonctions fnctumies dé æ. Posons Un, | = v; l'équation (39) est remplacée par le système de Pfaff S LL trois équations à cinq variables :
(4o) w, = dy — udx = 0, o, = du — vdæ = 0,
wo, —= dg ms y, 2, Fi ne = U On a ici :
. =0, w', = duèôx — dxÿv,
w', =, 2 (dvèæ — — dxv), (mod. Wyy Op, O3).
. Le système dérivé S' est donc formé des deux équations
GS — dy — udx — 0,
de die.
dv
Re 2e du re (f—v
Pour que S soit un ro spécial, les deux équations
OT. 0y (mod. o,, w,)
doivent se réduire à une seule. Il faut pour cela que w', ne dépende
pas de duÿv — dvôu, c'est-à-dire que 2% soit nul. Il faut donc que f soit linéaire par rapport à E, équation considérée plus haut (n° ee |
de dy) y du A (s F2 ue dt B(ans dx cal LR
on
et nous retrouvons une
PME
En particulier, nous voyons que l'équation de M. Hilbert
dE. —= ( ee À ne peut admettre de solution explicite de la forme (27).
. Exempces, — [L -— Lorsque les équations (37) ne renferment pas les variables elles-mêmes æ;, mais seulement leurs différentielles, le système équivalent (38) est de la forme à
GS) dm=udr, des=fi(u)das, +, dén= fa-A(u)dæ,
is fes vs Jn—1 ne dépendant que de la variable z. Nous avons remarqué.
plus haut (n° 77) que ce système est toujours un système spécial. On peut donc dans ce cas obtenir sous forme explicite tous les systèmes de fonctions d’une variable, qui satisfont aux équations (37). Ce résultat peut être généralisé. Considérons un système de g équations g<n—i mer |
LA Se Fi(dæ, Lu dem dnft)= 0, |. (=r2,; 0)
Si l’on adjoint à ce système n —q—1 équations de même forme
Fy+i(ds, ..) dxg+4) — 0, .…, Fn—1 = 0,
he le système obtenu, quelles que soient les fonctions Fg+1, .…, Fn—1, est
* de la forme que nous venons d'étudier. On peut donc aussi trouver l'intégrale générale du système (41) sous forme explicite, avec plusieurs fonctions arbitraires.
11. — Les formules générales qui donnent les coordonnées d’un point d’une courbe gauche à torsion constante peuvent s’écrire ()
{ Ut pa APS
| | RURALE PSE du : | RS TP Ar et . on LAN L TN] 3 Tu + oi
ke odu — adv FE rpequn
u et v étant des fonctions arbitraires d’un paramètre £. Pour que LUE puissent s'exprimer explicitément en fonction d’une variable auxi-
liaire, d’une fonction arbitraire de cette variable, et de ses dérivées
(1) Darsoux, Leçons sur la Théorie Générale des Surfaces, tome I, 2° édition, 1914, page 61. | | |
AUOR | u — ig B cos «, v = tg8 sin «&,
